Modello di equilibrio economico generale di von Neumann: differenze tra le versioni
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Il risultato esprime il fatto che se la popolazione dei lavoratori cresce ad un tasso <math>r</math> molto elevato, allora il sistema economico non è in grado di fornire a tutti i lavoratori l’opportunità di lavorare da cui segue l'abbassamento del livello dei salari.
== L'applicazione del modello di v. Neumann nelle economie pianificate: il caso sovietico ==
Lo sviluppo di innovativi metodi matematici nelle scienze economiche russe venne imbrigliato ed ostacolato durante tutto il periodo in cui Stalin governò l’Unione Sovietica. Nei politici e di conseguenza negli economisti sovietici era radicato il pregiudizio che l'introduzione di ''concetti borghesi'' quali l’[[utilità marginale]] sostenuta dalla scuola austriaca o l’approccio econometrico della scuola anglo-americana avrebbero distorto la teoria del lavoro di Marx allontanando così l’ideologia marxista-leninista dalle analisi socio-economiche qualitative. Il risultato fu il ripudio dell'uso di metodi matematici nelle scienze economiche sino alla morte di Stalin. (''The use of Mathematics in Economics'', pag.1,2). La pianificazione dell’economia sovietica da un primo periodo per così dire sperimentale degli anni venti, passò attraverso un secondo periodo caratterizzato dall’analisi input-output alla Leontief, approdò poi ad una terza fase caratterizzata dalla diffusione delle tecniche di programmazione matematica e dallo sviluppo di modelli economici, si ricordano [[Leonid V. Kantorovich]], Viktor V. Novozhilov, Vasily S. Nemchinov (''The use of Mathematics in Economics'', pag.x).
Fu nei primi anni sessanta del XX secolo che Kantorovich assieme a Valeri L. Makarov (''Growth Models and their Application to Long-term Planning and Forcasting'', 1965) adottarono lo schema di crescita di v. Neumann suggerendone l’applicazione nel calcolo della pianificazione a lungo termine ed indicandolo tra i modi e mezzi di utilizzo per il lavoro effettivo del [[Gosplan]]. Già nel 1943 Kantorovich aveva intuito che l’elaborazione del piano economico nazionale di breve periodo poteva essere espresso nei termini di un poderoso problema di programmazione lineare nel quale i [[moltiplicatori di Lagrange]] (i c.d. moltiplicatori risolventi di Kantorovich) costituivano il sistema ottimale dei prezzi. L'esistenza di un sistema di prezzi ombra avrebbe garantito il massimo output di beni soggetti a disponibilità limitata. I [[Prezzo ombra|prezzi ombra]] potevano dunque ricoprire il ruolo di faro per le unità economiche le quali divenivano così capaci di autoregolarsi all’interno di un meccanismo pianificato (pag.xii ''Essays in Optimal Planning''). Successivamente, Kantorovich adattò il suo modello di breve termine ai requisiti analitici e pratici di una pianificazione a lungo termine ove i prezzi non costituivano più l'elemento statico per effettuare valutazioni di opportunità, ma erano le scelte strategiche stesse a determinare il corso di uno sviluppo economico strettamente legato al tasso di investimento. Kantorovich in ''A Dynamic Model of Optimum Planning'' del 1964 e nel 1965 con Makarov in ''Optimal Models of Long-term'' sviluppò un modello di ottimizzazione multi-periodo del piano economico sovietico nel quale il modello di breve periodo costituiva la sezione trasversale del singolo periodo.
Nel modello dinamico, ciascuna variabile considerata nei diversi periodi di tempo veniva trattata come una variabile distinta, ad esempio tutti i prezzi ombra <math>y_j</math> venivano datati ricorrendo ad un indice temporale <math>k=1, 2, \dots, T</math>, <math>y_{jk}</math>. Il prezzo di lungo periodo rappresentava dunque un costo opportunità e nel caso di sviluppo economico includeva un tasso di profitto <math>\beta-1</math> approssimativamente uguale al tasso di sviluppo <math>\alpha-1</math>; dalla relazione di ricorrenza
:: per <math>k=1, 2, \dots, T</math>
si può osservare yjk+1 = kyjk con <math>\alpha \approx \beta </math>.
== Note ==
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