Differenze tra le versioni di "Paraboloide"

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In [[geometria]] un '''paraboloide''' è una [[quadrica]], un tipo di superficie in uno spazio a tre dimensioni, descritta da un'equazione della forma:
 
:<math>\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{b} \right) ^2 = \frac{z}{c} \ \quad</math> '''(paraboloide ellittico)'''
:<math>
\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{b} \right) ^2 = \frac{z}{c} \ \quad
</math> '''(paraboloide ellittico)'''
[[File:paraboloide.png]]
 
o della forma
 
:<math>\left( \frac{x}{a} \right) ^2 - \left( \frac{y}{b} \right) ^2 = \frac{z}{c} \quad</math> '''(paraboloide iperbolico)'''.
:<math>
\left( \frac{x}{a} \right) ^2 - \left( \frac{y}{b} \right) ^2 = \frac{z}{c}
\quad</math> '''(paraboloide iperbolico)'''.
[[File:parabolide-sella.png]]
 
Dove ''<math>a''</math> e'' <math>b''</math> rappresentano il grado di curvatura nel piano x-z<math>xz</math> e y-z<math>yz,</math> mentre '' <math>c''</math> rappresenta la direzione di apertura del paraboloide: verso l'alto per ''<math>c''>0</math> (per il paraboloide ellittico) e verso il basso lungo l'asse <math>x</math> per ''<math>c''<0</math> (per il paraboloide iperbolico).
 
== Perché "ellittico" e "iperbolico"? ==
[[File:paraboloide-iperbolico-sezione-oriz.png]]
 
È evidente che nel primo caso la sezione è un'[[ellisse]] e nel secondo è un'[[iperbole (geometria)|iperbole]]. Algebricamente, intersecare una superficie con un piano orizzontale equivale a risolvere il [[Sistema di equazioni|sistema]] tra l'equazione che descrive la superficie e l'equazione <math>z = z<sub>0z_0,</submath>, dove z<submath>0z_0</submath> è una costante. Se poniamo ad esempio
 
:<math>z= - \frac{1}{2}</math>
z= - \frac{1}{2}
</math>
 
otteniamo:
 
:<math>\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{b} \right) ^2 = 1</math> \quad
:<math>
\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{b} \right) ^2 = 1 \quad
</math>
 
che non è altro che l'equazione dell'[[ellisse]]. Variando il valore di <math>z</math>, ovveroossia variando la posizione del piano orizzontale, si ottengono ellissi di dimensioni diverse.
 
Nel secondo caso (paraboloide iperbolico), la [[sezione retta]] è un'[[iperbole (geometria)|iperbole]]; infatti, ponendo anche in questo caso
 
:<math>z= - \frac{1}{2}</math>
z= - \frac{1}{2}
</math>
 
abbiamo
 
:<math>\left( \frac{x}{a} \right) ^2 - \left( \frac{y}{b} \right) ^2 = 1</math> \quad
:<math>
\left( \frac{x}{a} \right) ^2 - \left( \frac{y}{b} \right) ^2 = 1 \quad
</math>
 
che è proprio l'equazione di un'iperbole.
Il nome della superficie deriva dal fatto che le sue sezioni verticali sono appunto delle [[Parabola_(geometria)|parabole]].
 
Quando ''<math>a = b'',</math> un paraboloide ellittico viene detto ''paraboloide di rivoluzione'', cioè una superficie ottenuta dalla rotazione di una [[Parabola (geometria)|parabola]] attorno al suo asse. Questa superficie è anche chiamata ''paraboloide circolare''.
cioè una superficie ottenuta dalla rotazione di una [[Parabola (geometria)|parabola]] attorno al suo asse. Questa superficie è anche chiamata ''paraboloide circolare''.
 
Hanno la forma del paraboloide di rotazione i [[riflettore parabolico|riflettori parabolici]] usati come [[specchio|specchi]], come [[antenna|antenne]] piatte e per analoghi dispositivi, come le [[antenna parabolica|antenne paraboliche]]. La ragione di ciò è dovuta al fatto che una sorgente di luce collocata nel punto focale di un paraboloide di rotazione produce un fascio di luce parallelo all'asse della superficie, e viceversa un fascio di luce parallelo che incide su un paraboloide di rotazione nella direzione del suo asse si concentra nel suo punto focale: questi effetti si hanno naturalmente anche per onde elettromagnetiche con frequenze in intervalli diversi dal visibile.