Differenze tra le versioni di "Funzione propria"

aggiungo precisazione e sistemo un po'
(aggiungo precisazione e sistemo un po')
 
== Definizione ==
Una [[funzione continua]]
:<math>f:\colon X \to Y </math>
fra spazi topologici è '''propria''' se la [[controimmagine]] <math>f^{-1}(K)</math> di ogni [[insieme compatto|sottoinsieme compatto]] <math>K</math> di <math>Y</math> è un insieme compatto in <math>X</math>.
 
 
== Esempi ==
Una [[funzione strettamente convessa]] che ammette un minimo è propria. Ad esempio la parabola <math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x) = x^2</math> è propria. La controimmagine di un compatto connesso <math>[-a^2, b^2] </math> è infatti il compatto <math>[0, b]</math>.
:<math>f(x) = x^2.</math>
La controimmagine di un compatto connesso <math>[-a^2, b^2] </math> è infatti il compatto <math>[0, b]</math>.
 
Una [[funzione limitata]] <math>f\colon \R \to \R </math> non è mai propria.
 
Il fatto di essere propria o meno dipende, molto spesso, oltre che dall'espressione della funzione, anche dal proprio dominio e/o dal codominio,. adAd esempio: la funzione <math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x) = e^{x}</math>, non è propria, infatti la controimmagine dell'intervallo <math>[0, 1]</math>, che è un compatto, è <math>(- \infty , 0]</math> che non è un compatto. D'altro canto, si noti invece che la funzione <math>f\colon [0, + \infty) \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x) = e^{x}</math> è propria.
 
si consideri la funzione <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x) = e^{x}</math>, allora non è propria, infatti la controimmagine dell'intervallo <math>[0, 1]</math>, che è un compatto, è <math>(- \infty , 0]</math> che ovviamente non è un compatto.
 
D'altro canto, si noti invece che la funzione <math>f: [0, + \infty) \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x) = e^{x}</math> è propria.
 
== Proprietà ==
* Ogni mappa continua da uno spazio compatto ada uno [[spazio di Hausdorff]] è [[funzione chiusa|chiusa]] e propria.
* Ogni mappa propria ammette [[grado topologico]].
 
== Bibliografia ==