Differenze tra le versioni di "Teorema binomiale"

 
:<math>(a+b)^1 = \sum_{k=0}^1 {1 \choose k} a^{(1-k)} b^{k} = a+b</math>
 
e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente <math>n</math> qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione
 
:<math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{(n-k)} b^k,</math>
 
si ha
sicuramente vera per <math>n=1</math>, si ha
 
:<math>(a+b)^{n+1}</math><math>=(a+b)(a+b)^n</math>
:<math>=(a+b)\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}</math>
 
e moltiplicando la sommatoria per <math>(a+b)</math> si ha
 
:<math>=\sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k}
b^{k+1},</math>
 
da cui, essendo
 
:<math>\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}</math>
:<math>= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}</math>
 
:<math>= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}.</math>
 
Inoltre
ed inoltre
 
:<math>\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}</math>
:<math>= \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1} .</math>
 
Utilizzando nel primo passaggio la [[coefficiente binomiale#Proprietà|proprietà del coefficiente binomiale]]
 
:<math>={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n}
b^{n+1}.</math>
 
essendoPoiché infine
:<math>{n \choose 0} = {n+1 \choose 0} = 1</math>
e
:<math>\ {n \choose n} = {n+1 \choose n+1} = 1,</math>
 
si ha che