Differenze tra le versioni di "Polinomi di Laguerre"

fix minori
(fix minori)
 
 
:<math>
L_n(x):=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right), \quad \mboxtext{per} \quad n=0,1,2,3, ...\ldots
</math> .
 
Essi sono [[polinomi ortogonali|polinomi mutuamente ortogonali]] rispetto al [[prodotto interno]] espresso da
 
:<math>\langle f,g \rangle = \int_0^\infty\, f(x) g(x) e^{-x} \,dx.</math>.
 
La successione dei polinomi di Laguerre è una [[sequenza di Sheffer]].
== Polinomi dei gradi più bassi ==
I primi polinomi sono:
:<math>\,L_0(x)=1,</math> ,
:<math>\,L_1(x)=-x+1,</math> ,
:<math>L_2(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+1,</math> ,
:<math>L_3(x)=\frac{1}{6}\left(-x^3+9x^2-18x+6\right).</math> .
 
== Come integrale di contorno ==
La precedente uguaglianza esprimente la ortogonalità equivale ad affermare che se <math>X</math> è una [[variabile casuale]] con [[variabile casuale esponenziale|distribuzione esponenziale]]
 
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x}, & \mboxtext{se }\ x>0, \\ 0, & \mboxtext{se }\ x<0, \end{matrix}\right.</math>
 
allora
:<math>E(L_n(X)L_m(X))=0\ , \qquad n\neq m.</math> .
 
La distribuzione esponenziale non è la sola [[variabile casuale gamma|distribuzione gamma]]. Una successione polinomiale ortogonale rispetto alla distribuzione gamma la cui densità di probabilità è
 
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{\alpha-1} e^{-x}/\Gamma(\alpha), & \mboxtext{se }\ x>0, \\ 0, & \mboxtext{se }\ x<0, \end{matrix}\right.</math>
 
(vedi [[funzione gamma]]) si ricava dalla definizione dei '''polinomi generalizzati di Laguerre''':
 
:<math>L_n^{(\alpha)}(x):={x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} e^{-x} x^{n+\alpha}.</math>
{x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} e^{-x} x^{n+\alpha}</math> .
 
Questi polinomi talora sono chiamati '''polinomi associati di Laguerre'''. I polinomi di Laguerre semplici costituiscono il caso particolare dei polinomi generalizzati relativo ad <math>\alpha=0</math>
 
:<math>L^{(0)}_n(x)=L_n(x).</math> .
 
I polinomi associati di Laguerre costituiscono una successione ortogonale sull'intervallo <math>[0,\infty)</math> rispetto alla funzione peso <math>x^\alpha e^{-x}</math>:
 
:<math>\int_0^{\infty} dx\, e^{-x}x^\alpha L_n^{(\alpha)}(x) L_m^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{nm}.</math> .
 
Per valori interi di <math>\alpha</math> la precedente espressione di definizione si può scrivere
 
:<math>L_n^{(m)}(x) = (-1)^m{d^m \over dx^m} L_{n+m}(x).</math> .
 
== Relazione con i polinomi di Hermite ==
 
:<math>H_{2n}(x) = (-1)^n 2^{2n} n! L_n^{(-1/2)} (x^2)</math>
 
e
:<math>H_{2n+1}(x) = (-1)^n 2^{2n+1} n!x L_n^{(1/2)} (x^2)</math>
 
:<math>H_{2n+1}(x) = (-1)^n 2^{2n+1} n!x L_n^{(1/2)} (x^2),</math>
dove <math>H_n(x)</math> denota il [[polinomi di Hermite|polinomio di Hermite]] di grado n.
 
dove <math>H_n(x)</math> denota il [[polinomi di Hermite|polinomio di Hermite]] di grado <math>n.</math>
 
== Relazione con la serie ipergeometrica ==
I polinomi di Laguerre generalizzati si possono definire come caso particolare di [[funzione ipergeometrica confluente]], come
 
:<math>L^a_n(x) = {n+a \choose n} M(-n,a+1,x) =\frac{(a+1)_n} {n!} \,_1F_1(-n,a+1,x),</math>
 
dove <math>(a)_n</math> denota il [[simbolo di Pochhammer]].