Differenze tra le versioni di "Involuta"

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[[File:Evolvente-parabel.svg|miniatura| Due involute (rosso) di una parabola ]]
{{S|geometria}}
[[File:Evolvente-parabel.svg|miniatura| Due involute (rosso) di una parabola ]]
 
In [[matematica]], date due curve '''<math>\gamma</math> '''e <math>\delta</math>, si dice che <math>\delta</math> è '''involuta''' (o '''evolvente''') di <math>\gamma</math>, o che <math>\gamma</math> è [[evoluta]] di <math>\delta</math>, se <math>\delta</math> appartiene allo spazio generato dal vettore tangente di <math>\gamma</math> per ogni punto del dominio e se gli spazi 1-dimensionali generati dai vettori tangenti di <math>\gamma</math> e <math>\delta</math> siano ortogonali in tutto il loro dominio. Per esempio la curva dei centri dei cerchi osculatori di <math>\gamma</math> è un’evoluta di <math>\gamma</math>.
 
Geometricamente, un''''involuta''', è un particolare tipo di [[Curva (matematica)|curva]] che dipende da un'altra forma o curva. L'involuta di una curva è il [[Luogo (geometria)|luogo]] dei punti toccati dall'estremo di un pezzo di corda tesa mentre viene avvolta (o srotolata, in modo geometricamente equivalente ) attorno alla curva data. <ref>{{Cita libro|autore=Rutter|nome=J.W.|titolo=Geometry of Curves|anno=2000|editore=CRC Press|città=|pp=204|ISBN=9781584881667}}</ref>
 
Le involute appartengono alla famiglia di curve chiamate [[Rulletta|roulette]] .
 
L'[[evoluta]] di un'involuta è quindi la curva originaria.
 
Le nozioni dell'di involuta e dell'di evoluta di una curva furono introdotte da [[Christiaan Huygens]] nel suo lavoro intitolato ''[[Horologium oscillatorium|Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato dimostrationes geometricae]]'' (1673). <ref>{{Cita libro|autore=McCleary|nome=John|titolo=Geometry from a Differentiable Viewpoint|anno=2013|editore=Cambridge University Press|città=|pp=89|ISBN=9780521116077}}</ref>
 
== Involuta di una curva parametrizzata ==
Sia <math> \vec c(t),\; t\in [t_1,t_2] </math> una [[Curva (matematica)|curva regolare]] sul piano con [[curvatura]] mai nulla e <math>a\in (t_1,t_2)</math>, allora la curva con la rappresentazione parametrica
 
:<math>\vec C_a(t)=\vec c(t) -\frac{\vec c'(t)}{|\vec c'(t)|}\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw </math>
 
è un'''involuta'' della curva data.
 
(=== Dimostrazione) ===
 
Aggiungendo di un numero arbitrario ma fisso <math>l_0</math> all'integrale <math> \Bigl(\int_a^t|\vec c'(w)|\; dw\Bigr) ,</math> risulta in un'involuta corrispondente a una corda estesa di <math>l_0</math> (come una palla di filo si lana, avente una certa lunghezza di filo già appeso prima che sia svolto). Quindi, l'involuta può variare di una costante <math>a</math> e/o aggiungendo un numero all'integrale (vedi [[evolvente|Involutainvoluta di una parabola semicubica]] ).
La corda funge da [[tangente]] alla curva (). La sua lunghezza viene modificata di un valore pari alla [[Lunghezza di un arco|lunghezza dell'arco]] attraversata mentre si snoda o si annoda. La lunghezza dell'arco della curva attraversata nell'intervallo () è dato da
 
()
 
dove () è il punto iniziale da cui viene misurata la lunghezza dell'arco. Poiché il vettore tangente rappresenta la corda tesa qui, otteniamo il vettore corda come
 
()
 
Il vettore corrispondente al punto finale della stringa () può essere facilmente calcolato utilizzando la [[somma vettoriale]] e si ottiene
 
()
 
Aggiungendo di un numero arbitrario ma fisso <math>l_0</math> all'integrale <math> \Bigl(\int_a^t|\vec c'(w)|\; dw\Bigr) </math> risulta in un'involuta corrispondente a una corda estesa di <math>l_0</math> (come una palla di filo si lana, avente una certa lunghezza di filo già appeso prima che sia svolto). Quindi, l'involuta può variare di una costante <math>a</math> e/o aggiungendo un numero all'integrale (vedi [[evolvente|Involuta di una parabola semicubica]] ).
 
Se <math>\vec c(t)=(x(t),y(t))^T</math> si ottiene
 
: <math>\begin{align}
X(t) &= x(t) - \frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \\
Y(t) &= y(t) - \frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \; .
\end{align}</math>
 
== Proprietà delle involute ==
[[File:Involute(in_red)_of_parabola(dark_blue).png|alt=|miniatura| Involuta: proprietà. Gli angoli rappresentati sono di 90 gradi. ]]
Per ricavare le proprietà di una curva regolare è vantaggioso utilizzare la [[Lunghezza di un arco|lunghezza dell'arco]] <math>s</math> come il parametro della curva assegnata, che porta alle seguenti semplificazioni: <math>\;|\vec c'(s)|=1\;</math> e <math>\;\vec c''(s)=\kappa(s)\vec n(s)\;</math>, con <math>\kappa</math> la [[curvatura]] e <math>\vec n</math> l'unità normale. Si ottiene per l'involuzioneinvoluta:
 
: <math>\vec C_a(s)=\vec c(s) -\vec c'(s)(s-a)\ </math> e
: <math>\vec C_a'(s)=-\vec c''(s)(s-a)=-\kappa(s)\vec n(s)(s-a)\; </math>
 
oltre al seguente risultato:
e la dichiarazione:
 
* Alnel punto <math> \vec C_a(a)</math> l'involuta ''non'' è ''regolare'' (perché <math>| \vec C_a'(a)|=0</math> ),.
 
e daDa <math>\; \vec C_a'(s)\cdot\vec c'(s)=0 \;</math> segue che:
 
* La normale dell'involuta al punto <math>\vec C_a(s)</math> è la tangente della curva data nel punto <math>\vec c(s)</math> .
* Le involute sono [[ Curva parallela |curve parallele]], poiché <math>\vec C_a(s)=\vec C_0(s)+a\vec c'(s)</math> e il fatto, quellopoiché <math>\vec c'(s)</math> è l'unitàil vettore unitario normale a <math>\vec C_0(s)</math> .
 
== Esempi ==
 
=== Involuta di ununa cerchiocirconferenza ===
[[File:Evolvente-kreis.svg|miniatura| Involuta di un cerchiouna circonferenza]]
Per ununa cerchiocirconferenza con rappresentazione parametrica <math>(r\cos(t), r\sin(t))</math>, si ha ha <math>\vec c'(t) = (-r\sin t, r\cos t)</math> . Quindi <math>|\vec c'(t)| = r</math> e la lunghezza del percorso è <math>r(t - a)</math> .
 
ValutandoCalcolando l'equazione sopra indicata dell'involuta, si ottiene
 
:<math>\begin{align}
X(t) &= r(\cos t + (t - a)\sin t)\\
Y(t) &= r(\sin t - (t - a)\cos t)
\end{align}</math>()
 
per l' [[equazione parametrica]] dell'involuta della spirale del cerchiocirconferenza.
 
La lunghezza dell'arco per <math>a=0</math> e <math>0 \le t \le t_2</math> dell'involuta è
e
 
La lunghezza dell'arco per :<math>aL =0</math> e <math>0 \le t \lefrac{r}{2} t_2^2.</math> dell'incavo è
 
[[File:Evolvente-np.svg|miniatura|300x300px|Involute di una parabola semicubica (blu). Solo la curva rossa è una vera parabola.]]
: <math>L = \frac{r}{2} t_2^2.</math>
 
[[File:Evolvente-np.svg|miniatura|300x300px|=== Involute di una parabola semicubica (blu). Solo la curva rossa è una vera parabola. ]]===
L' [[equazione parametrica]] dell'involuta è quindi <math>\vec c(t) = (t - \sin frac{t^3}{3}, 1 - \cos frac{t^2}{2})</math>, l'equazione dell'involuta è quindi
 
: <math>\begin{align} X(t)&= -\frac{t}{3}\\
=== Involute di una catenaria ===
: <math>\begin{align} X(t)&= -\frac{t}{3}\\
L' [[equazione parametrica]] dell'involuta è quindi <math>\vec c(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t)</math>
Y(t) &= \frac{t^2}{6} - \frac{1}{3}.\end{align}</math>
\end{align}</math>
 
Eliminando <math>t</math> si ottiene <math>Y = \frac{3}{2}X^2 - \frac{1}{3},</math> dimostrando che questa è l'involuta diè una [[Parabola (geometria)|parabola]] .
<nowiki/>**************
 
Le altre involute sono quindi [[Curva Curve parallele parallela|curve parallele]] di una parabola e non sono parabole, poiché sono curve di grado sei.
: <math>\begin{align} X(t)&= -\frac{t}{3}\\
[[File:Involute.gif|miniatura| L'involuta (rossa) di una catenaria (blu) è una trattrice. ]]
Y(t) &= \frac{t^2}{6} - \frac{1}{3}.\end{align}</math>
 
=== Involute di una catenaria ===
Eliminando t si ottiene <math>Y = \frac{3}{2}X^2 - \frac{1}{3},</math> dimostrando che questa è l'involuta di una [[Parabola (geometria)|parabola]] .
 
Le altre involute sono quindi [[ Curve parallele |curve parallele]] di una parabola e non sono parabole, poiché sono curve di grado sei.
[[File:Involute.gif|miniatura| L'involuta (rossa) di una catenaria (blu) è una trattrice. ]]
 
=== Involute di una cicloide ===
Per la [[catenaria]] <math>(t, \cosh t)</math>, il vettore tangente è <math>\vec c'(t) = (1, \sinh t)</math>, e come <math> 1 + \sinh^2 t =\cosh^2 t,</math> la sua lunghezza è <math>|\vec c'(t)| = \cosh t</math> . Quindi la lunghezza dell'arco dal punto (0, 1) è <math>\textstyle\int_0^t \cosh w\,dw = \sinh t.</math>
 
Quindi l'involuta a partire da <math>(0, 1)</math> è parametrizzatoparametrizzata da
 
: <math>(t - \tanh t, 1/\cosh t),</math>
 
ed è quindi una [[Trattrice (geometria)|trattrice]].
 
Le altre involute non sono trattrici, poiché sono curve parallele di una trattrice.
[[File:Evolvente-np.svg|miniatura|300x300px| Involute di una parabola semicubica (blu). Solo la curva rossa è una vera parabola. ]]
La rappresentazione parametrica <math>\vec c(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t)</math> descrive una [[cicloide]] . A partire dal <math>\vec c'(t) = (1 - \cos t, \sin t)</math>, si ottiene (dopo aver usato alcune formule trigonometriche)
 
=== Involute di una cicloide ===
: <math>|\vec c'(t)| = 2\sin\frac{t}{2},</math>
La rappresentazione parametrica <math>\vec c(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t)</math> descrive una [[cicloide]] . A partire dal <math>\vec c'(t) = (1 - \cos t, \sin t)</math>, si ottiene (dopo aver usato alcune formule trigonometriche)
 
: <math>L|\vec c'(t)| = 2\sin\frac{rt}{2} t_2^2.,</math>
L' [[evoluta]] di una data curva <math>c_0</math> è costituita dai centri di curvatura di <math>c_0</math>. Tra involute ed evolute vale la seguente dichiarazione: <ref>K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: ''Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ...'', Springer-Verlag, 2012,{{ISBN|3834883468}}, S. 30.</ref> <ref>R. Courant:''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band'', Springer-Verlag, 1955, S. 267.</ref>
 
e
: <math>\int_\pi^t 2\sin\frac{w}{2}\,dw = -4\cos\frac{t}{2}.</math>
 
: <math>|\vec c'(int_\pi^t)| = 2\sin\frac{tw}{2}\,dw = -4\cos\frac{t}{2}.</math>
Quindi le equazioni del corrispondente involuto sono
 
Quindi le equazioni deldell'involuta corrispondente involuto sono
: <math>\begin{align} X(t)&= -\frac{t}{3}\\
Y(t) &= \frac{t^2}{6} - \frac{1}{3}.\end{align}</math>
 
:<math>\begin{align}
che descrivono la cicloide rossa spostata del diagramma. Quindi
X(t)&= -\frac{t}{3}\\
Y(t) &= \frac{t^2}{6} - \frac{1}{3}.\end{align}</math>
\end{align}</math>
 
*che Ledescrivono la cicloide rossa spostata del diagramma. Quindi le involute della cicloide <math>(t - \sin t, 1 - \cos t)</math> sono curve parallele della cicloide
 
: <math>(t - \tanh t, 1/\cosh t),.</math>
 
(Le curve parallele di una cicloide non sono cicloidi. )
 
== Involute ed evolute ==
L' [[evoluta]] di una data curva <math>c_0</math> è costituita dai centri di curvatura di <math>c_0</math>. Tra involute ed evoluteievolute vale la seguente dichiarazionerelazione: <ref>K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: ''Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ...'', Springer-Verlag, 2012,{{ISBN|3834883468}}, S. 30.</ref> <ref>R. Courant:''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band'', Springer-Verlag, 1955, S. 267.</ref>
 
: ''Una curva è l'evoluta di una qualsiasi delle sue evolventi (involute).''
{{Gallery|[[File:Involute.gif|Tractrix (red) as an involute of a catenary|File:Evolute2.gif|The evolute of a tractrix is a catenary|title=Involute and evolute|width=160|height=170|align=center|alt2=Involute of a catenary|alt3=Evolute of a tractrix}}]]
 
== Applicazioni ==
L'involuta ha alcune proprietà che lo rendono estremamente importante per l'industria degli [[Ingranaggio|ingranaggi]]: se due ingranaggi a maglie incrociate hanno denti con la forma del profilo di involute (piuttosto che, ad esempio, una forma triangolare tradizionale), formano un sistema di [[ Ingranaggio a spirale |ingranaggi a spirale]]. Le loro velocità di rotazione relative sono costanti mentre i denti sono impegnati. Gli ingranaggi inoltre entrano sempre in contatto lungo un'unica linea di forza costante. Con denti di altre forme, le velocità e le forze relative aumentano e diminuiscono quando i denti successivi si impegnano, provocando vibrazioni, rumore e usura eccessiva. Per questo motivo, quasi tutti i moderni ingranaggi hanno la forma a evolvente. <ref>V. G. A. Goss (2013) "Application of analytical geometry to the shape of gear teeth", [[Resonance (journal)|Resonance]] 18(9): 817 to 31 [https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs12045-013-0106-3 Springerlink] (subscription required).</ref>
[[File:Two_moving_spirals_scroll_pump.gif|riquadrato| Meccanismo di un compressore scroll ]]
 
== Vedi anche ==
 
== Voci correlate ==
* [[Evoluta]]
* [[ Compressore Scroll |Compressore scroll]]
* [[Rulletta|Roulette (curva)]]
 
== linkCollegamenti esterni ==
 
* [http://mathworld.wolfram.com/Involute.html Involuta] in [[MathWorld]]
 
 
== Note ==