Continuità uniforme: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], in particolare in [[analisi matematica]], una [[Funzione (matematica)|funzione]] '''uniformemente continua''' è
La continuità uniforme è quindi una proprietà globale della funzione, contrariamente alla continuità semplice, che è una proprietà locale. Infatti, quando si dice che una funzione è continua, si intende semplicemente che è continua in ogni punto del suo dominio
== Definizione ==
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== Esempi ==
[[File:Sin1over x.svg|thumb|upright=1.4|Grafico della funzione <math>\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>, che non è uniformemente continua in <math>(0,1]</math>.]]
Al contrario, i [[Polinomio|polinomi]] di grado maggiore di <math>1</math> non sono funzioni uniformemente continue sull'intera retta reale, sebbene lo siano sugli insiemi limitati: data ad esempio la funzione <math>f(x)=x^2</math>, infatti, per ogni <math>\delta>0</math> la differenza:
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tende ad infinito per <math>x\to\pm\infty</math>.
Un analogo ragionamento può essere usato per dimostrare che la funzione <math>f(x)= 1 / x</math> non è uniformemente continua nell'intervallo <math>(0,1]</math>, mostrando che funzioni continue su un insieme limitato non sono necessariamente uniformemente continue. Neppure aggiungendo l'ipotesi che la funzione sia limitata si ottengono funzioni uniformemente continue: ad esempio la funzione <math>f(x)=\sin ( 1 / x)</math> (sempre nell'intervallo <math>(0,1]</math>) non è uniformemente continua, perché in ogni intervallo <math>(0,\delta)</math> si possono trovare <math>x_1,x_2\in I</math> tali che <math>|f(x_1)-f(x_2)|=2</math>.
== Condizioni sufficienti per la continuità uniforme ==
Il [[teorema di Heine-Cantor]] afferma che le funzioni continue su un insieme [[Insieme compatto|compatto]] (in <math>\R^n</math> un insieme chiuso e limitato) sono uniformemente continue su tale insieme compatto;<ref name=soardi/> il teorema può essere esteso a comprendere anche insiemi non compatti, purché la funzione tenda (per <math>x\to\pm\infty</math>) ad un [[limite (matematica)|limite]] finito oppure ammetta un [[asintoto]] obliquo.
Inoltre, ogni [[funzione lipschitziana]] <math>f</math> è uniformemente continua: dato <math>\varepsilon > 0</math>, si può scegliere <math>\delta := \frac{\varepsilon}{K}</math>, dove <math>K>0</math> è una costante di Lipschitz di <math>f</math>. La lipschizianità è una condizione sufficiente ma non necessaria per l'uniforme continuità (si veda il seguente esempio).
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Una funzione uniformemente continua in un insieme <math>X</math> lo è anche in ogni sottoinsieme <math>E\subseteq X</math>; non vale il viceversa (ad esempio, <math>f(x) = x^2</math> è uniformemente continua in ogni intervallo limitato ma non negli intervalli illimitati).
L'immagine di un [[Intervallo (matematica)|intervallo]] limitato
==Note==
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