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Progressione aritmetica: differenze tra le versioni

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== Calcolo ==
Se il primo termine di una progressione aritmetica è ''a<submath>1a_1</submath>'' e la ragione è ''<math>d'',</math> allora l'<math>n</math>-esimo termine della successione è dato da:
 
:<math>a_n=a_1+(n-1)d.</math>
 
Tale proprietà può essere estesa a un qualsiasi termine della progressione; si avrà quindi che:
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:<math>a_r=a_s+(r-s)d</math>
 
La somma dei numeri di una progressione aritmetica finita si chiama '''serie aritmetica'''. La somma ''<math>S''</math> dei primi ''<math>n''</math> valori di una progressione aritmetica è uguale a:
 
:<math>S_n={{1\over 2}}n(a_1 + a_n),</math>
 
dove <math>a_1</math> è il primo termine e <math>a_n</math> l'<math>n</math>-esimo.
 
=== Esempio: Sommasomma dei primi ''n'' interi positivi ===
Per esempio per trovare la somma dei primi ''<math>n''</math> [[numero naturale|interi positivi]] <math>\sum_{k=1}^n k,</math> si calcola:
 
:<math>\sum_{k=1}^n k=1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.</math>
 
si calcola:
 
:<math>1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}</math>
 
== Dimostrazione ==
Si deve dimostrare che <math>\frac {n(a_1+a_n)}{2}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n.</math> Posizioniamo due progressioni aritmetiche uguali a quella data una sopra l'altra e con gli addendi invertiti di posizione. Ponendo <math>S</math> uguale alla somma e andando poi a sommare in verticali gli addendi corrispondenti, abbiamo che:
Posizioniamo due progressioni aritmetiche uguali a quella data una sopra l'altra e con gli addendi invertiti di posizione. Ponendo <math>S</math> uguale alla somma e andando poi a sommare in verticali gli addendi corrispondenti, abbiamo che:
 
:<math>S=(a_1)+(a_2)+(a_3)+\cdots+(a_{n-1}+a_n)</math>
:<math>S=(a_n)+(a_{n-1})+\cdots+(a_2)+(a_1)</math>
:______________________________________________________
:<math>2S=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots+(a_n+a_1)</math>
 
La riga inferiore presenta addendi uguali perché <math>(a_1+a_n)=(a_2+a_{n-1})=(a_3+a_{n-2})=\cdots=(a_1+a_n)</math>. Ciò è facilmente dimostrabile. Infatti, ricordando che l'''<math>n''</math>-esimo termine è dato da <math>a_1+(n-1)d</math>, effettuando le seguenti sostituzioni:
 
* <math>(a_2)=(a_1+d)</math>
* <math>(a_{n-1})=(a_n-d)</math>
 
e scrivendo
 
:<math>(a_1+a_n)=(a_1+d)+(a_n-d),</math>
 
si dimostra che
:<math>(a_1+a_n)=(a_2+a_{n-1}).</math>▼
 
▲:<math>(a_1+a_n)=(a_2+a_{n-1}).</math>
Simili uguaglianze sono dimostrabili per gli altri termini della somma.▼
 
Ma allora, ricordando che la somma della riga inferiore contiene <math>n</math> termini
▲Simili uguaglianze sono dimostrabili per gli altri termini della somma. Ma allora, ricordando che la somma della riga inferiore contiene <math>n</math> termini
 
:<math>2S=n(a_1+a_n)</math>
 
dividendo entrambi i membri dell'equazione per <math>2</math>
 
:<math>S=\frac {n(a_1+a_n)}{2}.</math>
 
== Caratteristiche ==
Le progressioni aritmetiche forniscono le '''sequenze di intervalli consecutivi di uguale ampiezza''' (la ragione); queste sequenze servono per la definizione degli integrali e per le campionature delle funzioni reali di una variabile reale; queste ultime sono utilizzate per la presentazione grafica di queste funzioni in tutti gli odierni sistemi e pacchetti computazionali.
 
Il [[teorema di Dirichlet]], dimostrato nel 1837 da [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]], afferma che in ogni progressione aritmetica in cui il primo termine ''<math>a''</math> e la ragione ''<math>d''</math> siano [[interi coprimi]] (ovveroossia valga [[Massimo comun divisore|MCD]]<math>(''a'',''d'')=1</math>) si trovano infiniti [[numero primo|numeri primi]].
 
== Voci correlate ==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Progressione_aritmetica"