Funzione di correlazione (teoria quantistica dei campi): differenze tra le versioni
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La funzione di correlazione può essere interpretata fisicamente come l'ampiezza per la propagazione di una particella o eccitazione tra y e x.▼
== Definizione ==
Per una [[teoria dei campi scalare]] con un singolo campo <math>\phi(x)</math> e uno stato di vuoto <math>|\Omega\rangle</math> a ogni evento (x) nello spaziotempo, la funzione a n punti è il valore di aspettazione del vuoto dei prodotti ordinati temporalmente di <math>n</math> operatori di campo nella [[rappresentazione di Heisenberg]]
:<math>
\frac{\int \mathcal{D}\phi\; e^{-S[\phi]}\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)}{\int \mathcal{D}\phi\; e^{-S[\phi]}}▼
</math>
dove <math>T\{\cdots \}</math> è l'operatore di ordinamento temporale che ordina i campi da sinistra a destra all'aumentare del tempo. Trasformando i campi e gli stati nella [[rappresentazione di interazione]], questa si riscrive come<ref>{{cite book|first=M.D.|last=Schwartz|title=Quantum Field Theory and the Standard Model|publisher=Cambridge University Press|chapter=7|edition=9|isbn=9781107034730}}</ref>
:<math>
▲La funzione di correlazione può essere interpretata fisicamente come l'ampiezza per la propagazione di una particella o eccitazione tra y e x.
G_n(x_1, \dots, x_n) = \frac{\langle 0|T\{\phi(x_1)\dots \phi(x_n)e^{iS[\phi]}\}|0\rangle}{\langle 0|e^{i S[\phi]}|0\rangle},
</math>
dove <math>|0\rangle</math> è lo stato fondamentale della teoria libera e <math>S[\phi]</math> è l'[[Azione (fisica)|azione]]. Sviluppando <math>e^{iS[\phi]}</math> in [[serie di Taylor]], la funzione di correlazione a n punti diventa una somma di funzioni di correlazione nella rappresentazione di interazione che può essere calcolata con il [[teorema di Wick]]. Un maniera per rappresentare questa somma è tramite i [[Diagramma di Feynman|diagrammi di Feynman]], dove ogni termine può essere valutato usando le regole di Feynman nello spazio delle posizioni.
La serie dei diagrammi che sorge da <math>\langle 0|e^{iS[\phi]}|0\rangle</math> è l'insieme dei diagrammi delle cosiddette "bolle di vuoto", che sono diagrammi senza linee esterne. D'altra parte, <math>\langle 0|\phi(x_1)\dots \phi(x_n)e^{iS[\phi]}|0\rangle</math> è dato dall'insieme di tutti i possibili diagrammi con esattamente <math>n</math> linee esterne. Siccome questo comprende anche diagrammi sconnessi con bolle di vuoto, la somma si fattorizza nel prodotto (somma sui diagrammi a bolla)<math>\times</math>(somma di tutti i diagrammi senza bolle). Il primo termine quindi si cancella con il fattore di normalizzazione nel denominatore, con la conseguenza che la funzione di correlazione a n punti è la somma di tutti i diagrammi di Feynman eccetto le bolle di vuoto
:<math>
G_n(x_1, \dots, x_n) = \langle 0|T\{\phi(x_1) \dots \phi(x_n)e^{iS[\phi]}\}|0\rangle_{\text{senza bolle}}.
</math>
Pur non includendo nessuna bolla di vuoto, la somma include diagrammi sconnessi, che sono diagrammi in cui almeno una linea esterna non è collegata a nessuna delle altre linee esterne attraverso qualche percorso connesso. Escludendo questi diagrammi sconnessi si definiscono invece funzioni di correlazione a n punti connesse
:<math>
G_n^c(x_1, \dots, x_n) = \langle 0| T\{\phi(x_1)\dots \phi(x_n) e^{iS[\phi]}\}|0\rangle_{\text{connessi, senza bolle}}
</math>
È spesso preferibile lavorare direttamente con questi, poiché contengono tutte le informazioni contenute dalle funzioni di correlazione complete, poiché qualsiasi diagramma sconnesso è semplicemente un prodotto di diagrammi connessi. Escludendo altri insiemi di diagrammi si possono definire altre funzioni di correlazione come le funzioni di correlazione irriducibili a una sola particella.
Nella formulazione dell'[[integrale sui cammini]], le funzioni di correlazione a n punti sono scritte come una media funzionale
:<math>
▲G_n(x_1, \dots, x_n) = \frac{\int \mathcal
</math>
Possono essere valutate usando il funzionale di partizione <math>Z[J]</math> che agisce come un [[funzionale generatore]], con <math>J</math> che è un termine di sorgente, per le funzioni di correlazione
:<math>
G_n(x_1, \dots, x_n) = (-i)^n \frac{1}{Z[J]}\frac{\delta^n Z[J]}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0}.
</math>
Allo stesso modo, le funzioni di correlazione connesse possono essere generate usando <math>W[J] = -i \ln Z[J]</math> as
:<math>
G_n^c(x_1, \dots, x_n) = (-i)^{n-1}\frac{\delta^n W[J]}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0}.
</math>
== Note ==
<references />
==Approfondimenti==
* {{Cita libro|autore=Alexander Altland|autore2=Ben Simons|anno=2006|titolo=Condensed Matter Field Theory|editore=[[Cambridge University Press]]}}
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