Derivata logaritmica: differenze tra le versioni

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:<math>\frac{f'(x)}{f(x)}</math>
 
dove l'apice &prime; denota l'operazione di [[derivata|derivazione]]. Se in particolare <math>\,f(x)\,</math> è una [[funzione di variabile reale|funzione di una variabile reale]] che assume valori reali positivi in senso stretto, la derivata logaritmica fornisce anche la derivata del [[logaritmo]] della funzione, come si ricava dalla [[regola della catena|regola della derivazione di funzione di funzione]].
 
:<math>\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx} \log(f(x)) </math>
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== Formule utilizzabili per il calcolo infinitesimale di base ==
 
'''[[Prodotto di funzioni]]:'''
 
*''uv'' = exp(ln ''u'' + ln ''v'')
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*(''uv'')&prime; = ''u''&prime;'''v'' + ''uv''&prime;
 
'''[[Quoziente di funzioni]]:'''
 
*u/v = exp(ln u - ln v)
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*(u/v)' = (u'v - uv')/(v^2)
 
'''[[Potenze di funzioni]]:'''
 
*Se n è una [[costante]], u<sup>n</sup> = exp(n ln u)
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== Fattori integranti ==
 
L'attenzione posta alla derivata logaritmica è iniziata con la precisazione del metodo del [[fattore integrante]] per la soluzione delle [[equazione differenziale del primo ordineordinaria|equazioni differenziali del primo ordine]]. Con [[operatore differenziale|notazione operatoriale]] scriviamo
 
:''D'' = ''d''/''dx''
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:''M''<sup>&minus;1</sup>''DM''
 
per la [[regola del prodotto]] si può scrivere
 
:''D'' + ''M*''
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:''n''/''z''
 
e si può arrivare alla conclusione generale che per una generica funzione meromorfa tutte le singolarità della derivata logaritmica sono semplici poli con [[residuo]] ''n'' corrispondenti agli zeri di ordine ''n'' della ''f'' e con residuo &minus;''n'' in corrispondenza ad ogni polo di ordine ''n'' (vedi [[principio dell'argomento]]). Queste considerazioni sono utilizzate spesso per valutare gli [[integrale di contornolinea|integrali di contorno]].
 
== Funzioni speciali ==
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La derivata logatitmica viene utilizzata per introdurre varie funzioni spaziali interessanti. In particolare essa permette di definire la [[funzione digamma]].
 
== [[Numero reale|Gruppo moltiplicativo dei reali]] ==
 
L'utilità della derivata logaritmica si basa su due proprietà di base di ''GL<sub>1</sub>'', il gruppo moltiplicativo dei numeri reali o di un altro [[campo (matematica)|campo]]. L'[[operatore differenziale]]