Formule di prostaferesi: differenze tra le versioni
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:<math>\frac {\sin\left(\beta\pm\alpha\right)} {\sin\alpha \, \sin\beta}</math>
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==Formule di prostaferesi con l'esponenziale complesso==
Tutte le formule di prostaferesi possono essere derivate algebricamente ricordando che per l'[[esponenziale complesso]] è valida la [[formula di Eulero]]. Se <math>\mathcal P</math> è, indifferentemente, la funzione [[parte reale]] o [[Parte immaginaria|immaginaria]] di un [[numero complesso]], le formule di prostaferesi possono essere espresse come
:<math>
\mathcal P(e^{ia} \pm e^{ib})= \mathcal P(e^{i \frac a 2}e^{i \frac b 2} (e^{i\frac {a-b} 2}\pm e^{-i \frac {a-b} 2}))</math>
:<math>=\mathcal P(e^{i \frac {a+b} 2} (e^{i\frac {a-b} 2} \pm e^{-i \frac {a-b} 2})) </math>
In altre parole, data la somma di due [[numeri complessi]] di [[Norma (matematica)|modulo]] [[Uno|unitario]] (in [[Rappresentazione dei numeri complessi|forma polare]]), raccogliamo il numero complesso di argomento pari a metà angolo del primo e quello di argomento pari a metà angolo del secondo.
Ricordiamo che <math>\Re (e^{i\alpha})=\frac {e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}} 2=\cos (\alpha)</math> e <math>\Im (e^{i\alpha}) = \frac {e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}} {2i}=\sin (\alpha)</math>, e sono [[funzione lineare|operatori lineari]]. Dunque abbiamo due casi:
:<math>\mathcal P(e^{ia} + e^{ib})= 2\cos\left(\frac {a-b} 2\right)\mathcal P\left(e^{i \frac {a+b} 2}\right)</math>
per linearità, e equivalentemente
:<math>
\mathcal P(e^{ia} - e^{ib})= 2\sin\left(\frac {a-b} 2\right)\mathcal P\left( i\,
e^{i \frac {a+b} 2} \right)
</math>
== Note ==
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