Polinomio separabile: differenze tra le versioni
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Un [[polinomio]] <math>f(x) \in K[x]</math> si dice '''separabile''' se
Queste due differenti definizioni non comportano tuttavia grossa confusione in quanto la nozione di polinomio separabile viene principalemente utilizzata sui polinomi irriducibili per i quali le due definizioni sono equivalenti.
Si prova che tutti i polinomi irriducibili <math>f(x) \in K[x]</math> che hanno uno zero in un'[[estensione separabile]] di ''K'' sono separabili. Di conseguenza sono separabili tutti i polinomi a coefficienti su [[campo perfetto|campi perfetti]], e dunque i polinomi su campi di [[Caratteristica (algebra)|caratteristica]] 0 o su campi finiti.
Per quanto detto, è chiaro che ogni polinomio del tipo <math>f(x)=x^n-1 \in \mathbb Q [x]</math> è separabile, ma è immediato verificare direttamente che<math>\ x^n-1</math> e <math>f\ ' (x)=nx^{n-1}</math> sono coprimi e dunque che <math>f</math> è separabile su <math>\mathbb Q</math> nel senso più forte.
Si osservi tuttavia che questo procedimento non si può fare per polinomi del tipo <math>f(x)=x^p-y^p \in F_p(y^p)[x]</math>, ove <math>F_p(y^p)</math> è il [[campo finito]] con ''p'' elementi a cui si è aggiunta la potenza p-esima di un elemento ''y'' trascendente su <math>F_p</math>. Si ha infatti che <math>f\ '(x)=0</math> e dunque il [[massimo comun divisore]] tra ''f''' e ''f'' è ''f'' stesso e quindi, dato che non è difficile provare che ''f'' è irriducibile, si ha che ''f'' non è separabile per nessuna delle due definizioni.
In generale, si prova che i polinomi irriducibili non separabili su un campo di caratteristica ''p'' sono esattamente i polinomi irriducibili che si possono scrivere come <math>f(x)=g(x^p)</math> per un qualche polinomio ''g(x)''.
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