Assioma dell'infinito: differenze tra le versioni

:Esiste un [[insieme]] X tale che l'[[insieme vuoto]] è in X e tale che ogni volta che ''x'' è un elemento di X, l'insieme formato dall'unione di ''x'' con il suo [[singoletto]] {''x''} è anch'esso un elemento di X. Tale insieme X è talvolta chiamato ''apodittico''<ref>{{Cita libro|nome=Luca|cognome=Barbieri Viale|titolo=Che cos'è un numero? : Una introduzione all'algebra|url=https://www.worldcat.org/oclc/898699172|accesso=2022-12-17|data=2013|editore=Cortina|OCLC=898699172|ISBN=978-88-6030-604-3}}</ref> o [[insieme induttivo (logica)|insieme induttivo]].

Per comprendere questo assioma, per prima cosa definiamo il ''successore'' di ''a'' come ''a'' ∪ {''a''}. Si noti che l'[[assioma della coppia]] ci permette di costruire il singoletto {''a''}, eper quindiogni diinsieme formare la coppiaa. I successori sono usati per definire l'usuale codifica insiemistica deii [[numero naturale|numeri naturali]]. In questa codificacostruzione, lo zero è l'insieme vuoto (0 = {}), e 1 è il successore di 0:

Potremmo avere l'intenzionela tentazione di formare l'insieme <math>\mathbb{N}= \{0, 1, 2, ...\}</math> di tutti i numeri naturali, ma sila scopresua che,esistenza usandonon soloè gligarantita dagli altri assiomi, è impossibile. L'assioma dell'infinito, quindi assumeassumendo l'esistenza di questoun insieme apodittico X, egarantisce ottieneche questol'insieme condei unnumeri metodonaturali simile<math>\N</math> all'[[induzionepossa matematica]],essere assumendodefinito primacome l'intersezione di tuttotutti chegli esistainsiemi unapodittici insiemecontenuti in ''X. L''insieme che<math>\N</math> ottenuto contienea zero,partire eda poiX facendosembra dipendere da questo: scegliendo un altro insieme Y apodittico si potrebbe ottenere <math>\N'</math> in modoY. cheIn effetti, perbasta ogniosservare elementoche di<math>X\cap Y \neq \emptyset</math> è apodittico: quindi <math>\N \subseteq X\cap Y \subseteq Y</math> da cui segue<math>\N'\subseteq \N</math> come <math>\N' \subseteq X\cap Y \subseteq X</math> e quindi <math>\N\subseteq \N'',</math> ilovvero [[ordinale<math>\N'=\N</math>. successore|successore]] dellL'elementoinsieme <math>\N</math> è ancoraunico ined esiste grazie all'assioma dell'X''infinito.

* {{Collegamenti esterni}}