Monoide: differenze tra le versioni

 

== Definizione ==

Un monoide è un [[insieme]] M munito di una singola [[operazione binaria]] * che ad ogni coppia di elementi a, b di M associa l'elemento a*b, rispettando i seguenti [[assioma|assiomi]]:

 

'''Chiusura'''

:Per ogni a, b appartenenti a M, l'elemento a*b appartiene ancora a M, vale a dire che M è ''chiuso'' rispetto al prodotto (l'insieme che soddisfa questa proprietà si chiama [[Magma (matematica)|magma]])

 

'''Associatività'''

:Il prodotto è ''associativo'': dati a, b, c appartenenti a M, vale (ab)c = a(bc) (l'insieme che soddisfa questa proprietà e la chiusura si chiama [[semigruppo]])

 

'''Elemento neutro'''

:Esiste in <math>M</math> un elemento ''neutro'' <math>e</math> tale che <math>a e = e a = a</math> per ogni <math>a</math> in <math>M</math>.

 

== Proprietà ==

Partendo dagli assiomi formulati si dimostra che l'elemento neutro è univocamente determinato. Se <math>e</math>, <math>f</math> sono entrambi elementi neutri, si ha <math>f = e f = e</math>, dove la prima eguaglianza segue dal fatto che <math>e</math> è un elemento neutro, e la seconda dal fatto che lo è <math>f</math>.

 

 

== Monoidi e gruppi ==

Un [[gruppo (matematica)|gruppo]] è un monoide dotato di [[elemento inverso]].

 

 

== Esempi ==

L'insieme dei [[numeri interi]] '''Z''' con l'operazione prodotto è un monoide commutativo dove l'elemento neutro è 1 e gli elementi invertibili sono 1 e -1.

 

== Voci correlate ==

* Informatica: [[Linguaggi formali]]

 

[[Categoria:Teoria dei semigruppi]]

[[Categoria:Strutture algebriche]]

 

* [[Dikran Dikranjan]] e [[Maria Silvia Lucido]], ''Aritmetica e algebra'', [[Liguori]], 2007, ISBN 978-8-8207-4098-6

* [[Michael Artin]] (1997): ''Algebra'', Bollati Boringhieri, ISBN 8833955869

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