Spazio tangente: differenze tra le versioni

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La mappa <math>df_p</math> (scritta anche come <math>df</math>, <math>Df_p</math>, <math>f_*</math>, <math>f'(p)</math>) è detta ''derivata totale'' o ''differenziale'' di <math>f</math> in <math>p</math>, e rappresenta la miglior [[approssimazione]] lineare di <math>f</math> nei dintorni di <math>p</math>. Nelle coordinate locali determinate da una carta, la derivata di <math>f</math> si può rappresentare con il suo [[matrice jacobiana|jacobiano]]. Se <math>W = \mathbb{R}</math>, la definizione data coincide con quella usuale di [[differenziale (matematica)|differenziale]].
 
Vale inoltre il seguente teorema, che è un'estensione del [[teorema della funzione inversa]] tra varietà: se <math>f :\, V \rightarrow W</math> è un [[diffeomorfismo]] locale]] di varietà nel punto <math>p </math> di <math> V</math>, allora il differenziale <math>df_p</math> è un [[isomorfismo]] tra i corrispondenti spazi tangenti. Viceversa, se <math>df_p</math> è un isomorfismo, esiste un [[intorno|intorno aperto]] di <math>p</math> che viene mappato diffeomorficamente da <math>f</math> su <math>W</math>.
 
==Applicazioni degli spazi tangenti==