Classe laterale: differenze tra le versioni
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È possibile descrivere ogni laterale destro come una [[classe d'equivalenza]] rispetto alla [[relazione d'equivalenza]] <math>\sim</math> definita in <math>G</math> ponendo per <math>a,b \in G</math>:
:<math>a \sim b \Longleftrightarrow ba^{-1}\in H \Longleftrightarrow b\in aH.</math>
La classe di equivalenza contenente l'elemento <math>g</math> è proprio <math>Hg</math>: infatti <math>g=ge</math>, dove <math>e</math> è l'[[elemento neutro]] di <math>G</math>: quindi <math>e\in H</math> perché <math>H</math> è un sottogruppo.
:<math>a \sim b \Longleftrightarrow a^{-1}b\in H \Longleftrightarrow b\in Ha.</math>
▲Anche ogni classe laterale sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga.
== Proprietà ==
Si verifica che in ogni gruppo le classi laterali sinistre sono tante quante le classi laterali destre: tale numero, sia esso finito o infinito, è detto ''indice'' del sottogruppo <math>H</math> nel gruppo <math>G</math>, e si indica talvolta con <math>i(H)</math>. Inoltre due qualsiasi classi laterali possono essere facilmente messe in [[corrispondenza biunivoca]]: da ciò deriva che esse hanno tutte la stessa [[cardinalità]].
In generale i laterali sinistri e i laterali destri di un sottogruppo di un gruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo di G che definisce una unica partizione si dice [[sottogruppo normale]] di G; esso consente la definizione di un [[gruppo quoziente]].▼
In particolare, se <math>G</math> è finito e ha <math>n</math> elementi, e una classe laterale ha <math>m</math> elementi, si ha <math>n=m\cdot i(H)</math>: quindi l'indice del sottogruppo <math>H</math> e la cardinalità di una sua classe laterale sono [[divisore|divisori]] della cardinalità di G. In particolare questo è vero per il sottogruppo <math>H</math>, comunque esso venga scelto, perchè esso corrisponde alla classe laterale <math>eH</math>, con <math>e</math> elemento neutro di <math>G</math>.
▲In generale i laterali sinistri e i laterali destri di un sottogruppo di un gruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo <math>N</math> di G che definisce una unica partizione, cioè tale che <math>gN=Ng\; \forall g\in G</math>, si dice [[sottogruppo normale]] di G; esso consente la definizione di un [[gruppo quoziente]] i cui elementi sono le classi laterali sinistre o, indifferentemente, quelle destre.
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