Gruppo topologico: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m robot Aggiungo: uk:Топологічна група |
Aggiunte molte informazioni dalla versione inglese |
||
Riga 1:
In [[algebra astratta]], un '''gruppo topologico'
Tra i più importanti gruppi topologici va annoverato l'insieme dei [[numero reale|numeri reali]] dotato della usuale topologia derivante dalla [[distanza euclidea]] e dell'operazione di [[addizione]]. È comunque sempre possibile dotare un qualunque gruppo della [[topologia discreta]], rendendolo così un gruppo topologico (gruppo topologico discreto).
==Definizione formale==
Un gruppo topologico è uno spazio topologico e un gruppo dotato di una operazione binaria tale che le funzioni (in notazione moltiplicativa):
<math>
\begin{matrix}
f : & G \times G & \rightarrow & G \\
& (x,y) & \mapsto & xy
\end{matrix}
</math>
e
<math>
\begin{matrix}
g : & G & \rightarrow & G \\
& x & \mapsto & x^{-1}
\end{matrix}
</math>
sono continue. Queste condizioni equivalgono a richiedere che la funzione <math>\phi(x,y)=xy^{-1}</math> sia continua.
==Omeomorfismi e isomorfismi==
Un [[omomorfismo]] continuo tra due gruppi topologici è detto ''omeomorfismo'' tra i gruppi topologici.
Un isomorfismo tra gruppi topologici è invece un [[isomorfismo]] di gruppi che è anche un [[omeomorfismo]] tra spazi topologici. Questa condizione è più forte di quella di isomorfismo continuo (in quanto richiede che anche la funzione inversa sia continua). Esistono infatti casi di gruppi topologici che sono isomorfi come gruppi ma non come gruppi topologici. Ad esempio, ad un gruppo topologico dotato di topologia non discreta, può essere associata anche la topologia discreta, generando così un differente gruppo topologico con il medesimo supporto. I due gruppi topologici sono identici dal punto di vista della struttura di gruppo, ma non possono essere omeomorfi.
I gruppi topologici con i loro omomorfismi formano una [[teoria delle categorie|categoria]]. Essi possono anche essere considerati come una estensione del concetto di gruppo dalla categoria degli insiemi a quella degli spazi topologici.
==Sottogruppi topologici e gruppi quoziente==
Un [[sottogruppo]] di un gruppo topologico è anch'esso un gruppo topologico, se viene dotato della [[topologia del sottoinsieme|topologia indotta]] dal gruppo che lo contiene. Inoltre, la [[chiusura (topologia)|chiusura]] di un sottogruppo è anch'essa un sottogruppo; se il sottogruppo è [[sottogruppo normale|normale]], lo è anche la sua chiusura.
Se <math>H\ </math> è un sottogruppo (normale o no) di <math>G\ </math>, il [[gruppo quoziente]] <math>G/H</math> è un gruppo topologico se dotato della rispettiva [[topologia quoziente]].
Gli usuali [[teorema di siomorfismo|teoremi sugli isomorfismi]] non sono immediatamente estensibili ai gruppi topologici, a meno di richiedere delle condizioni supplementari. Ad esempio, per il primo teorema sugli isomorfismi, dato un omomorfismo di gruppi <math>f : G \rightarrow H</math>, l'isomorfismo tra <math>G/ker(f)</math> e <math>Im(f)</math>, intesi come gruppi topologici, vale solo se la mappa <math>f: G \rightarrow f(G)</math> è [[funzione aperta|aperta]].
==[[Assioma di separazione|Assiomi di separazione]]==
Un gruppo topologico <math>G\ </math> è di [[spazio di Hausdorff|Hausdorff]] se e solo se il sottogruppo banale formato dal solo [[elemento neutro]] è chiuso. Alcuni autori richiedono che questa condizione sia inclusa nella condizione di sottogruppo; è comunque sempre possibile rendere il gruppo di Hausdorff se si passa al quoziente <math>G/K</math>, dove <math>K\ </math> è la chiusura del gruppo banale. In effetti, questa condizione non è molto restrittiva, in quanto ogni sottogruppo per cui vale l'[[spazio T0|assioma T0]] è certamente almeno T3½.
Un'altra condizione normalmente richiesta è quella di considerare sottogruppi [[insieme chiuso|chiusi]], in quanto il gruppo quoziente generato da un sottogruppo non chiuso non è T0, indipendentemente dal gruppo originario.
==Compatezza==
Un gruppo topologico [[spazio compatto|compatto]] può essere considerato come una generalizzazione del concetto di gruppo finito; in particolare per quanto riguarda la teoria della [[rappresentazione dei gruppi]]. Analogamente i gruppi [[spazio localmente compatto|localmente compatti]] estendono i gruppi numerabili.
==Esempi==
* I gruppi additivi di tutti gli [[spazio vettoriale topologico|spazi vettoriali topologici]] sono gruppi topologici;
* i [[gruppo di Lie|gruppi di Lie]] sono gruppi topologici localmente compatti;
* l'insieme dei numeri razionali <math>\mathbb{Q}</math>, dotato della topologia indotta da <math>\mathbb{R}</math> è uno spazio topologico che non è un gruppo di Lie;
==Note==
<references/>
==Bibliografia==
* {{en}} Taqdir Husain. ''Introduction to Topological Groups''. Philadelphia, R.E. Krieger Pub. Co., 1981. ISBN 0898741939
* {{en}} Lev S. Pontryagin. ''Topological Groups''. 3ª ed. New York, Gordon and Breach Science Publishers, 1986. ISBN 2-88124-133-6
==Voci correlate==
* [[Gruppo di Lie]]
* [[Misura di Haar]]
[[Categoria:Teoria dei gruppi]]
| |||