Modello di FitzHugh-Nagumo: differenze tra le versioni

 

 

:<math>\left\{\begin{matrix} {dV \over dt}=g(V)-W+I_a\\

{dW \over dt}=bV-hW\end{matrix}\right.</math>

 

<math>g(V)=V(a-V)(V-1)</math>

 

Dove <math>V</math> è il potenziale della cellula,<math>W</math> è una grandezza che riassume tutti i parametri del sistema e <math>I_a</math> è un impulso elettrico esterno.

Questo sistema si analizza, utilizzando il metodo del piano di fase per le equazioni non lineari,ponendo:

 

:<math>\left\{\begin{matrix} {dV \over dt}=f_1\\

 

Come si può notare, l’origine (V=0, W=0) è un punto stazionario, ovvero il sistema nel punto (0,0) non evolve nel tempo e dunque vale la condizione:

 

:<math>\left\{\begin{matrix} f_1=0\\

{| align=top width=690 style="border:1px solid gray; margin-left:1em; font-size:13px; padding:3px; text-align:center;" cellpadding=7

|bgcolor=#eeefff| Questa è la condizione di stazionarietà del punto

|}

 

È necessario ora capire che tipo di punto stazionario sia l’origine. A tal fine possiamo ricorrere al metodo della linearizzazione: sia <math>\vec{f}(\vec{x})=(f_1(\vec{x},f_2(\vec{x}))</math> un campo vettoriale, con <math>\vec{x}=(V,W)</math>. <math>f(\vec{x})</math> può essere sviluppato nella somma di due termini:

 

<math>\vec{f}=A(\vec{x}-\vec{x_s})+O((x+x_0)^2)</math>

 

Dove A è lo jacobiano del campo vettoriale: <math>\vec{f}(\vec{x})</math>:

 

<math>J = \left( \begin{matrix} \nabla \vec{f}_1 \\ \nabla \vec{f}_2 \end{matrix} \right) </math>

 

Quindi si può approssimare <math>\vec{f}</math> con J. A questo punto si calcolano la traccia ed il determinante dello jacobiano. Senza entrare nel merito della teoria dei sistemi differenziali, si può utilizzare il seguente diagramma

 

[[Immagine:FHNB.jpg|thumb|center|450px|<center>Punti di instabilità e di stabilità del sistema</center>]]

 

Consideriamo il sistema sempre nel caso <math>I_a=0</math>.

 

Assumiamo per semplicità che tutti i parametri siano positivi ed a sempre compreso tra 0 e 1.

<math>\left\{\begin{matrix} det(J_\vec{0})=ah+b>0\\

Tr(J_\vec{0})=-(a+h)<0\end{matrix}\right.</math>

 

Il punto (0,0) è dunque stabile. Consideriamo ora il comportamento delle linee di campo. +/- indica il segno che assumono le nurcline:

 

se esiste un vettore:

<math>V=e_1P(x,y)+e_2Q(x,Y)</math>

 

costantemente rivolto verso l’interno di '''R''', allora si dimostra che esiste in '''R''' un [[ciclo limite]].

 

I cicli limite sono le traiettorie nel piano di fase che corrispondono ad oscillazioni periodiche del sistema e sono le soluzioni alle quali tendono le traiettorie per tutte le condizioni iniziali corrispondenti a punti di una determinata regione del piano di fase.

 

Nel caso del modello di Fitz-Hugh-Nagumo si può notare che esiste una regione '''R''' attorno a '''q''' tale da soddisfare il teorema di Poincaré-Bendixon:

 

Poiché vi sono dei cicli limite, l’andamento di V deve essere di tipo oscillatorio. In sostanza il segnale di depolarizzazione è [[aleatorio]] e [[non stazionario]] ed è generato dalla depolarizzazione della membrana ad opera di un impulso elettrico che interrompe momentaneamente lo stato di equilibrio (stato di riposo) in cui si trova la cellula. Con questo modello si spiega il pace-maker.