Sottospazio affine: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], un '''sottospazio affine''' è un [[sottoinsieme]] di uno [[spazio affine]] avente proprietà tali da farne a sua volta un altro spazio affine. Esempi di sottospazi affini sono i punti, le rette e i piani nell'ordinario [[spazio euclideo]] tridimensionale.
I sottospazi affini si distinguono dai [[sottospazio vettoriale|sottospazi vettoriali]] per il fatto che non sono forzati a passare per un punto fissato (l'''origine'' dello spazio vettoriale). A differenza dei sottospazi vettoriali, i sottospazi affini possono quindi non intersecarsi ed essere ad esempio [[parallelismo|paralleli]]. Questa maggiore libertà ha però una controparte: per i sottospazi affini non vale la [[formula di Grassmann]].
I sottospazi affini sono strettamente correlati ai [[sistema lineare|sistemi lineari]]: l'insieme delle soluzione di un sistema lineare è in effetti uno spazio affine.
==Definizione generale==▼
=== In uno spazio vettoriale ===
Un '''sottospazio affine''' di uno [[spazio vettoriale]] <math>V</math> è un sottoinsieme <math>S</math> del tipo
dove <math>p</math> è un punto fissato di <math>V</math> e <math>W</math> è un [[sottospazio vettoriale]] fissato di <math>V</math>. Si tratta in altre parole del sottospazio <math>W</math> [[traslazione|traslato]] del vettore <math>p</math>.
=== In uno spazio affine ===
La definizione all'interno di uno spazio affine è analoga. Sia <math>A</math> uno [[spazio affine]]. Più precisamente, <math>A</math> è dotato di uno spazio vettoriale <math>V</math> e di una funzione
:<math>f:A\times V\to A\,\!</math>
che viene solitamente indicata con il simbolo "+", quindi <math>f(p,v)=p+v</math>. Un '''sottospazio affine''' di <math>A</math> è un sottoinsieme <math>S</math> del tipo
:<math>S = p+W = \{p + w\ |\ w\in W\}.</math>
La definizione appena data è più generale della precedente, perché ogni spazio vettoriale può essere considerato come spazio affine con <math>A=V</math>, in cui la funzione <math>f</math> è l'usuale somma fra vettori.
== Proprietà ==
In uno [[spazio affine]] <math>A</math>, dati due punti <math>P,Q</math> di <math>A</math> si indica con
:<math>\overrightarrow{PQ}</math>
l'unico vettore in <math>V</math> tale che
:<math>P + \overrightarrow{PQ} = Q.</math>
=== Giacitura ===
Lo stesso sottospazio può essere definito in varie forme diverse come <math>S=p+W</math>. In tutte queste rappresentazioni, il punto <math>p</math> può variare (può essere un punto qualsiasi di <math>S</math>, a conferma che in geometria affine non ci sono "punti privilegiati"), ma <math>W</math> risulta essere sempre lo stesso: questo sottospazio di <math>V</math> è chiamato '''giacitura''' di <math>S</math>. La giacitura è infatti definita intrinsecamente come
:<math>W = \{\overrightarrow {PQ}\ |\ P,Q\in S \}.</math>
La ''dimensione'' di <math>S</math> è definita come la [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] di <math> W</math>. Quando la dimensione è 1 o 2 si parla di ''retta affine'' o ''piano affine''. Quando la dimensione è pari alla dimensione di <math>A</math> meno uno, si parla di ''iperpiano affine''.
=== Sottospazio generato ===
▲:<math>r : \{(x,y,z) | P_0 + t \vec v\}</math>
Il sottospazio affine ''generato'' da alcuni punti <math> x_1, \ldots, x_k </math> in <math>A</math> è il più piccolo sottospazio che li contiene.
== Esempi ==
dove <math>\vec v</math> è il '''vettore direzione''' della retta e <math>t \in \mathbb{R}</math> ▼
=== Nello spazio euclideo tridimensionale ===
Sia
lo [[spazio euclideo]] tridimensionale. Fissato un punto <math>P_0 = (x_0, y_0, z_0)</math>, una retta affine passante per <math>P_0</math> è l'insieme dei punti:
:<math>r = \{P_0 + t v\ |\ t\in\R\}</math>
dove <math>v = (v_x,v_y,v_z)</math> è un vettore fissato, detto ''vettore direzione'' della retta. La giacitura è qui la retta
▲:<math>\pi : \{(x,y,z) | P_0 + t \vec v_1 + s \vec v_2\}</math>
:<math> W = \{tv\ |\ t\in\R\} = {\rm Span}(v)</math>
[[span lineare|generata]] da <math>v</math>. La stessa retta affine <math>r</math> può essere rappresentata sostituendo il vettore direzione <math>v</math> con un qualsiasi suo multiplo <math>kv</math>, con <math>k\neq 0</math>.
Analogamente, un ''piano affine'' passante per <math>P_0</math> è del tipo:
:<math>\pi = \{P_0 + t v_1 + s v_2\ |\ t,s\in\R\}</math>
dove <math>v_1</math> e <math>v_2</math> sono due vettori [[indipendenza lineare|linearmente indipendenti]].
▲
Assumendo in un punto ''O'' una base <math>(\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)</math> nello spazio affine ogni vettore è rappresentabile nella forma <math>\vec v = a_1 \vec v_1 + a_2 \vec v_2 + a_3 \vec v_3</math> con <math>a_i \in \mathbb{R}</math> che sono le coordinate del vettore.
=== Soluzioni di sistemi lineari ===
Negli esempi precedenti, i sottospazi sono definiti tramite l'ausilio di ''parametri'' <math>t</math> e <math>u</math>: le equazioni che li descrivono sono per questo dette ''parametriche''. Un sottospazio affine in uno spazio euclideo <math>\R^n</math> (o in un più generale spazio vettoriale <math>K^n</math>) è anche descrivibile in forma più implicita, come spazio di soluzioni di un [[sistema lineare]]. Vale cioè il fatto seguente:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
Lo spazio delle soluzioni di un [[sistema lineare]] con <math>n</math> incognite a coefficienti in <math>K</math> è un sottospazio affine di <math>K^n</math>. D'altro canto, ogni sottospazio affine in <math>K^n</math> è lo spazio di soluzioni di un sistema lineare.
</div>
Un sottospazio affine determinato come spazio di soluzioni di un sistema lineare è descritto in forma ''cartesiana''.
In termini di coordinate due vettori <math>\vec w = (w_1 , w_2, w_3)</math> e <math>\vec w' = (w'_1 , w'_2, w'_3)</math> di <math>\mathcal{A}^3</math> sono '''paralleli''' se e solo se:
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