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Riga 34: == Esempi == === Nello spazio euclideo tridimensionale === ==== Retta affine ==== Sia :<math>\R^3 = \{ (x,y,z)\ \|\ x,y,z\in\R\}</math> Line 42 ⟶ 43: dove <math>v = (v_x,v_y,v_z)</math> è un vettore fissato, detto ''vettore direzione'' della retta. La giacitura è qui la retta :<math> W = \{tv\ \|\ t\in\R\} = {\rm Span}(v)</math> [[span lineare\|generata]] da <math>v</math>. La stessa retta affine <math>r</math> può essere rappresentata sostituendo il vettore direzione <math>v</math> con un qualsiasi suo multiplo <math>kv</math>, ~~con~~avente <math>k\neq 0</math>. ==== Piano affine ==== Analogamente, un ''piano affine'' passante per <math>P_0</math> è del tipo: Line 49 ⟶ 51: dove <math>v_1</math> e <math>v_2</math> sono due vettori [[indipendenza lineare\|linearmente indipendenti]]. ~~<math>\vec v_1 , \vec v_2 </math> sono '''vettori di giacitura''' non allineati del piano e <math>t, s \in \mathbb{R}</math>.~~ Assumendo in un punto ''O'' una base <math>(\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)</math> nello spazio affine ogni vettore è rappresentabile nella forma <math>\vec v = a_1 \vec v_1 + a_2 \vec v_2 + a_3 \vec v_3</math> con <math>a_i \in \mathbb{R}</math> che sono le coordinate del vettore. === Soluzioni di sistemi lineari === Line 61 ⟶ 59: </div> Un sottospazio affine determinato come spazio di soluzioni di un sistema lineare è descritto in forma ''cartesiana''. I coefficienti del sistema lineare formano una [[matrice]], e la dimensione del sottospazio è collegata al [[rango (algebra lineare)\|rango]] di questa tramite il [[teorema di Rouché-Capelli]]. ~~In termini di coordinate due vettori <math>\vec w = (w_1 , w_2, w_3)</math> e <math>\vec w' = (w'_1 , w'_2, w'_3)</math> di <math>\mathcal{A}^3</math> sono '''paralleli''' se e solo se:~~ ~~:<math> rg \begin{vmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \\ w'_1 & w'_2 & w'_3 \end{vmatrix} = 1</math>~~ In termini di coordinate tre vettori <math>\vec w = (w_1 , w_2, w_3)</math>, <math>\vec w' = (w'_1 , w'_2, w'_3)</math> e <math>\vec w'' = (w''_1 , w''_2, w''_3)</math> di <math>\mathcal{A}^3</math> sono '''complanari''' se e solo se: Ad esempio, una singola equazione ~~:<math> rg \begin{vmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \\ w'_1 & w'_2 & w'_3 \\ w''_1 & w''_2 & w''_3 \end{vmatrix} = 0</math>~~ :<math>a_1x_1+\ldots +a_nx_n = c \,\!</math> descrive un ''iperpiano'' in <math>K^n</math>. In particolare, questo è una retta nel piano se <math>n=2</math> ed un piano nello spazio se <math>n=3</math>. Una retta nello spazio <math>K^3</math> può essere descritta da due equazioni :<math>\begin{cases} a_1x+ b_1y + c_1z = d_1, \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2. \end{cases}</math> == Equazioni parametriche e cartesiane == === Equazioni parametriche e cartesiane della retta affine ===

Sottospazio affine: differenze tra le versioni