Equazione funzionale di Cauchy: differenze tra le versioni
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Affinché questa sia l'unica soluzione nei numeri reali, è necessario aggiungere altre condizioni. Per esempio, una qualunque delle seguenti condizioni è sufficiente:
* <math> f(x) </math> è [[funzione continua|continua]] (dimostrato da [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] nel [[1821]]). Questa condizione fu migliorata nel [[1875]] da [[Jean Gaston Darboux|Darboux]], che dimostrò che è sufficiente che la funzione sia continua in un solo punto.
* <math> f(x) </math> è [[funzione monotona|monotona]] (almeno in un [[intervallo (matematica)|intervallo]]).
* <math> f(x) </math> è [[funzione limitata|limitata]] superiormente o inferiormente in un intervallo.
D'altronde, se non viene imposta nessuna condizione aggiuntiva, esistono infinite altre funzioni che soddisfano l'equazione. Ciò fu dimostrato nel [[1905]] da [[Georg Hamel]] usando le [[base di Hamel|basi di Hamel]]. Il [[Problemi di Hilbert#Problema 5|quinto problema di Hilbert]] è una generalizzazione di questa equazione.
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