Spazio tangente: differenze tra le versioni
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Sia <math>M</math> una varietà <math>C^\infty</math> e <math>x</math> un punto di <math>M</math>. Le funzioni in <math>C^\infty (M)</math> che si annullano in <math>x</math> costituiscono un [[ideale (matematica)|ideale]] dell'[[anello (algebra)|anello]] <math>C^\infty (M)</math>.
Gli ideali <math>I</math> e <math>I^2</math> sono inoltre [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]], e il loro [[spazio quoziente (algebra lineare)|quoziente]] <math>{I}/{I^2}</math> è lo [[spazio cotangente]] di <math>M</math> in <math>x</math>. Il [[spazio duale|duale]] di questo spazio è definito come ''spazio tangente'' di <math>M</math> in <math>x</math>.
Questa definizione più astratta può facilmente essere estesa a strutture quali le [[varietà algebrica|varietà algebriche]]. La relazione con la precedente definizione è la seguente: data una derivazione <math>D</math> e una funzione <math>g </math> in <math> I^2</math>, dalla regola del prodotto si ricava facilmente<ref>Dimostrazione: poiché <math>g </math> è in <math>I^2 </math>, <math> g = g_1 g_2</math> con <math>g_1 (p) = g_2 (p) = 0</math> e dalla regola del prodotto si ricava <math>D(g) = D(g_1 g_2) = D(g_1) g_2(p) + g_1 (p) D(g_2) = 0 + 0 = 0</math>.</ref> <math>D(g) = 0</math>. Segue allora che <math>D</math> genera in maniera naturale una funzione lineare da <math>{I}/{I^2}</math> in <math>\mathbb{R}</math>.
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