Criterio di Eisenstein: differenze tra le versioni

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== Dimostrazione modulo ''p'' ==
 
Un'altra dimostrazione può essere data usando il [[campo (matematica)|campo]] <math>\mathbb{Z}_p</math> delle [[aritmetica modulare|congruenze]] modulo ''p''.
 
Consideriamo il polinomio ''f(x)'' come un polinomio modulo ''p'', riducendo i coefficienti; poiché ''p'' divide tutti i coefficienti escluso il primo, ''f(x)'' diventerà <math>c\cdot x^n</math> per una costante ''c'' non nulla. Poiché vale la fattorizzazione unica, ogni fattorizzazione di ''f(x)'' modulo ''p'' sarà in monomi. Ora, se ''f(x)'' fosse fattorizzabile, i suoi fattori ''g(x)'' e ''h(x)'', ridotti modulo ''p'', sarebbero monomi, ovvero si avrebbe <math>g(x)=d\cdot x^r</math> e <math>h(x)=d\cdot x^{n-r}</math>.