Unità (matematica)

In matematica, il concetto di unità si riferisce ad oggetti diversi ed assume numerosi significati; tutti quanti possono però riferirsi a diverse proprietà del numero uno.

Un primo gruppo di significati è legato alle proprietà algebriche di 1, che è elemento neutro della moltiplicazione e uno dei due numeri interi dotato di inverso (l'altro è -1). Un secondo gruppo di significati dipende invece da alcune proprietà del numero 1, che hanno anch'esse valore unitario (ad esempio, il valore assoluto di 1 vale 1). Infine, il termine unità viene impiegato anche per indicare gli elementi generatori di determinati insiemi o strutture matematiche.

Algebra

Teoria dei gruppi

In un gruppo, il termine unità indica l'elemento neutro della moltiplicazione, sul modello del numero $1$ nella moltiplicazione tra numeri interi, razionali o reali. Analogamente, viene chiamata matrice unità la matrice quadrata formata da tutti $1$ sulla diagonale principale, e tutti $0$ altrove; questa matrice è l'elemento neutro nel gruppo moltiplicativo delle matrici $n\times n$.

Teoria degli anelli

Nell'anello degli interi $\mathbb {Z}$, $1$ e $-1$ sono gli unici elementi dotati di reciproco. Nella teoria degli anelli, una unità è un elemento dotato di inverso rispetto alla moltiplicazione. Va osservato che, poiché un anello è anche un gruppo, il termine unità può riferirsi anche all'elemento neutro della moltiplicazione (che, quando esiste, è anche unità nel senso di elemento invertibile), generando una possibile ambiguità nella nomenclatura, di solito facilmente risolvibile dal contesto.

L'insieme delle unità di un anello $A$ forma il gruppo moltiplicativo dell'anello, che viene scritto $A^{\star }$. Se l'anello è unitario, il gruppo moltiplicativo è formato almeno dall'elemento neutro della moltiplicazione; se l'anello è un corpo, il suo gruppo moltiplicativo è formato da tutti gli elementi escluso lo zero.

Nella tabella sotto sono riportati i gruppi moltiplicativi di alcuni anelli.

Gruppi moltiplicativi di alcuni anelli

Anello	Gruppo moltiplicativo
anello degli interi $\mathbb {Z}$	$\left\{-1,1\right\}$
$\mathbb {Z} _{2}=\left\{0,1\right\}$	$\left\{1\right\}$
$\mathbb {Z} _{n}={\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$	$\left\{k\in \mathbb {Z} :\,{\mbox{m.c.m.}}(k,n)=1\right\}$
anello dei polinomi $\mathbb {Z} [x]$	$\mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\}$
campo dei razionali $\mathbb {Q}$	$\mathbb {Q} \setminus \left\{0\right\}$

Vettore unitario

Se consideriamo $\mathbb {R}$ come spazio vettoriale normato ad una dimensione, gli unici elementi a possedere modulo pari a uno sono $1$ e $-1$. In uno spazio vettoriale normato generico, i vettori di modulo pari a 1 sono detti vettori unitari o versori. L'insieme dei vettori unitari dello spazio vettoriale di dimensione $n$ forma la ipersfera unitaria di dimensione $n-1$.

La proprietà caratteristica dei versori li rende utili per indicare una particolare direzione e verso nello spazio; i versori più importanti sono quelli associati agli assi cartesiani, che costituiscono una base ortonormale per lo spazio in cui vivono; se vengono espresse nella base da essi stessi formata, le loro componenti sono tutte nulle, tranne quelle corrispondente alla propria direzione, che vale 1:

${\hat {e}}_{i}=\left(\delta _{ij}\right)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se }}i=j\\0&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

Analisi

Unità immaginaria

In analisi matematica, l'unità immaginaria, indicata con $i$ o $j$ è il numero utilizzato come generatore dei numeri immaginari, definiti come radici quadrate dei numeri negativi. Usualmente essa viene definita come una delle soluzioni dell'equazione (priva di soluzioni nell'ambito dei numeri reali):

$x^{2}+1=0$.

Va osservato che, data una soluzione $i$, il suo opposto $-i$, costituisce una altra soluzione valida. La scelta di una o l'altra radice a rappresentare l'unità immaginaria è perfettamente equivalente. Definito $i$, è possibile ottenere la radice quadrata di qualunque numero negativo:

${\sqrt {-a}}={\sqrt {(-1)\cdot a}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {a}}=i{\sqrt {a}},\qquad a>0$.

Un numero immaginario è definito come il prodotto tra un numero reale e l'unità immaginaria; analogamente, ogni numero reale è prodotto di se stesso per l'unità reale $1$.

Radici dell'unità

Nel dominio dei numeri reali, l'equazione

$x^{n}=1$

possiede solamente la radice $x=1$ se $n$ è dispari, e la radici $x=\pm 1$ se $n$ è pari. Se estendiamo il dominio della variabile ai numeri complessi, la stessa equazione possiede invece $n$ radici distinte, dette radici n-esime dell'unità. Tali radici nel piano complesso corrispondono ai vertici di un n-agono regolare, e formano un gruppo ciclico con l'operazione di moltiplicazione.

Unità di Eisenstein

Le unità di Eisenstein sono le unità dell'anello degli interi di Eisenstein, che è formato dai numeri complessi del tipo:

$z=a+\omega b$,

dove

$\omega ={\frac {1}{2}}\left(-1+i{\sqrt {3}}\right)$

è una delle radici cubiche dell'unità. Le unità di Eisenstein sono le sei radici seste dell'unità, e formano a loro volta un gruppo ciclico:

$\left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}$.

Aritmetica

In aritmetica, si definisce unità la cifra più a destra utilizzata nella rappresentazione di un numero intero. Nella numerazione posizionale, ogni cifra utilizzata nella rappresentazione di un numero ha un valore diverso a seconda della posizione che occupa, ottenuto moltiplicando la cifra per un opportuno coefficiente; ad esempio il numero 5434 in base 10 va inteso come:

$5434=5\times 1000+4\times 100+3\times 10+4\times 1$.

Il valore della cifra delle unità si ottiene moltiplicando per il coefficiente 1, che lascia inalterata la cifra originaria.