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'''Il [[paradosso]] dell' ipergioco''' si basa su una tensione irrisolta fra finito e infinito ed è particolarmente interessante perchè fornisce l'idea per una dimostrazione alternativa del [[Teorema di Cantor]] che afferma che non esiste alcuna [[biezione]] fra un insieme e il suo [[insieme delle parti]]. Tale dimostrazione è dovuta al matematico William Zwicker.
Consideriamo l' insieme di giochi che si giocano in due (ad esempio gli [[scacchi]] o il tris). Un gioco è finito se deve terminare necessariamente in un numero finito di mosse con la vittoria di uno dei giocatori o con il pareggio. Il tris, ad esempio, è un gioco finito perchè comunque si decida di apporre i simboli nella griglia di gioco, dopo al più nove mosse la partita si conclude. Un gioco è infinito se non è finito ovvero se esiste almeno una sequenza di mosse che impedisce la conclusione della partita. Ad esempio consideriamo il seguente gioco fra A e B: A sceglie un numero intero non primo e alternativamente A e B sommano al numero detto dall' avversario 1 o 2 a scelta. Vince chi ottiene un numero primo. E'È ovvio che sa A propone un numero pari diverso da 2 e i due giocatori continuano a sommare 2, il gioco non si concluderà mai. Naturalmente si tratta di un gioco demenziale e la strategia è perdente per entrambi ma non importa: l' esempio voleva solo fornire l' idea di un possibile gioco infinito.
Adesso vediamo in cosa consiste l' ipergioco. Il primo giocatore dice: "Giochiamo all' ipergioco".
Al che, il secondo giocatore sceglie un qualsiasi gioco finito e i due iniziano a giocare.
Per esempio potrebbe dire: "Giochiamo a dama" e si inizia una partita a dama.
L' ipergioco è un gioco finito? Indipendentemente dal fatto che si risponda sì o no a questa domanda, si ottiene una contraddizione. Se la risposta è sì, il secondo giocatore deve indicare un gioco finito, quindi può anche dire: "Giochiamo all' ipergioco". Adesso tocca al primo giocatore proporre un gioco finito, compreso lo stesso ipergioco. I due possono continuare all' infinito a scegliere l' ipergioco. Assurdo. Supponiamo che l'ipergioco sia un gioco infinito. Allora il primo giocatore propone un gioco finito che si concluderà in n mosse. In totale la partita è durata un numero finito di mosse (n+1).
Dobbiamo concludere che l' ipergioco non è un gioco.
Adesso si vedrà il legame con il teorema di Cantor. Partiamo da un semplice esempio. Consideriamo l' insieme ''C'' che ha per elementi i numeri 1,2,3. E'È chiaro che ''C'' non è biettivo al suo insieme delle parti che ha 8 elementi, ma ne vediamo una dimostrazione alternativa.
Sia ''f'' la funzione ''C'' nell'inseme delle parti di ''C'' tale che:
''f''(''1'') è l' [[insieme vuoto]],
''f''(''2'') è il [[singoletto]] di 2,
Definiamo una [[successione]] <math>\{a_n\}</math> di elementi di ''C'' in questo modo:
<math>a_{0}</math> sta in ''C'' e per ogni numero naturale n, l' elemento <math>a_{n+1}</math> è incluso nel sottoinsieme ''f'' (<math>a_{n}</math>).
Se <math>a_0</math>=''1'' allora la successione si arresta al termine <math>a_0</math>.
Se invece <math>a_0</math>=''2'' oppure <math>a_0</math>=''3'' si possono costruire anche successioni infinite ad esempio (2,2,2,2,2,2...) e (3,3,2,2,2,2,...). Diremo allora che 1 è un elemento finito e 2 e 3 sono elementi infiniti.
Per approfondimenti si vedano le voci [[paradossi dell'infinito]], [[autoreferenza]], [[teorema di Cantor]] e soprattutto [[Smullyan]], il famoso logico autore di "Satana,Cantor e l' infinito" in cui è spiegato anche il paradosso dell' ipergioco.
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