Fenomeno di Runge: differenze tra le versioni
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[[Immagine:Rungesphenomenon.png|right|thumb|300px|La curva rossa è la funzione di Runge, la curva blu è un polinomio di quinto grado, e la curva verde è un polinomio di nono grado. L'approssimazione peggiora all'aumentare del grado.]]
In [[Analisi numerica]] il '''Fenomeno di Runge''' è un problema relativo all'[[interpolazione polinomiale]] con [[polinomio|polinomi]] di grado elevato. Esso consiste nell'aumentare in ampiezza dell'errore in prossimità degli estremi dell'intervallo.
È stato scoperto da [[Carl David Tolmé Runge]] mentre studiava il comportamento degli errori dell'[[interpolazione polinomiale]] per [[approssimazione|approssimare]] alcune [[Funzione_(matematica)|funzioni]]. == Problema ==
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Consideriamo la [[Funzione_(matematica)|funzione]]:
<math>f(x) = \frac{1}{1+
Runge trovò che interpolando questa [[Funzione_(matematica)|funzione]] a <math>x_i</math> punti equidistanti da <math>-1</math> in <math>+1</math> come:▼
<math>x_i = \sum_{i=1}^{n+1} (-1+(i-1)\frac{2}{n})</math>▼
▲Runge trovò che interpolando questa [[Funzione_(matematica)|funzione]]
▲<!-- <math>x_i = \sum_{i=1}^{n+1} (-1+(i-1)\frac{2}{n})</math> -->
con un [[polinomio]] <math>P_n(x)</math> di grado <math>\leq n</math>, l'interpolazione risultante oscilla in [[ampiezza]] verso gli estremi dell'intervallo (in questo caso <math>-1</math> e <math>+1</math>).
È anche possibile provare che l'errore tende all'infinito all'aumentare del grado del polinomio:▼
▲È
<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \max_{|x| \leq 1} | f(x) - P_n(x)| \right) = \infty</math>▼
▲<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \max_{
== Soluzione ==
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