Serie convergente: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], una '''serie convergente''' è una [[serie (matematica)|serie]] tale che il [[limite]] delle sue somme parziali è finito. Questo vuol dire che, data una successione ''a<sub>n</sub>'', la serie <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> è convergente se la successione
ha un limite finito, cioè se esiste ''S'' tale che per ogni <math>\epsilon>0</math> esiste ''N'' tale che per ogni ''n>N''
:<math>|S_n-S|<\epsilon</math>
Il numero ''S'' è detto '''somma''' della serie: spesso è difficile trovare questo numero, sebbene possa essere facile capire che una serie è convergente.
La somma di due serie convergenti è ovviamente ancora convergente, così come la serie prodotta dalla moltiplicazione di una serie per uno scalare; le serie convergenti formano quindi uno [[spazio vettoriale]] sul [[campo (matematica)|campo]] dei [[numeri reali]].
▲:<math>S_n = \sum_{k=1}^n a_k.</math>
Una serie non convergente è detta ''[[serie divergente|divergente]]''.
== Esempi ==
*Un esempio tipico di serie convergente è la [[serie geometrica]] di parametro ''q''<1: ad esempio
*:<math>\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}=2</math>
*Anche la somma degli inversi dei quadrati converge (trovare il suo limite è stato il famoso [[problema di Basilea]]):
*:<math>\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math>
*Mediante lo sviluppo in [[serie di Taylor]] è possibile mostrare che
*:<math>\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi}{4}</math>
*Una serie non convergente è invece la serie dei reciproci dei [[numero primo|numeri primi]] ([[Dimostrazione della divergenza della serie dei reciproci dei primi|dimostrazione]]):
*:<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots = \sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p}</math>
== Assoluta convergenza ==
Una serie è detta '''assolutamente convergente''' se converge la serie dei valori assoluti, cioè se la serie
:<math>\sum_{i=0}^\infty |a_i|</math>
converge.
Si dimostra facilmente che una serie assolutamente convergente è convergente: infatti, se si definiscono due nuove successioni
:<math>b_n=\begin{cases}a_n \mathrm{~se~}a_n>0\\ 0\mathrm{~altrimenti}\end{cases}</math>
:<math>c_n=\begin{cases}-a_n \mathrm{~se~}a_n>0\\ 0\mathrm{~altrimenti}\end{cases}</math>
risulta evidente che le loro serie <math>\sum_{i=0}^\infty b_i</math> e <math>\sum_{i=0}^\infty c_i</math> sono a termini positivi e convergono, poiché ogni loro termine è minore del corrispondente termine di ''|a<sub>n</sub>|''. Quindi la loro differenza è anch'essa convergente, e quindi la serie originale converge, perché <math>a_n=b_n-c_n</math>
Il viceversa non è vero: la serie
*:<math>\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{n}</math>
converge a <math>\ln 2</math>, ma la serie dei valori assoluti
*:<math>\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty+\frac{1}{n}</math>
è la [[serie armonica]], che diverge.
== Criteri di convergenza ==
{{Vedi anche|criteri di convergenza}}
Per stabilire se una serie converge o meno è possibile usare dei criteri di convergenza, che consentono spesso di stabilire velocemente il carattere di una serie (specialmente se è a termini positivi, cioè se <math>S_n>S_{n-1}</math> per ogni ''n'' sufficientemente grande) senza tuttavia permettere di calcolarne effettivamente la somma.
Il metodo principale, che viene usato per dimostrare molti altri è il [[criterio del confronto]]: se <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> e <math>\sum_{i=0}^\infty b_i</math> sono due serie a termini positivi tali che <math>b_i>a_i</math> per ogni ''n'' sufficientemente grande e la seconda serie converge, allora converge anche la prima. Inversamente, se la prima diverge così farà la seconda.
Altri criteri molto usati sono il [[criterio del rapporto]] e il [[criterio della radice]]: nel primo si studia il comportamento della quantità <math>\frac{a_{n-1}}{a_n}</math>, mentre nel secondo della quantità <math>\sqrt[n]{a_n}</math> al tendere di ''n'' a infinito. In entrambi i casi, se questo limite è minore di 1 la serie converge, se è maggiore diverge, mentre se è 1 il criterio fallisce.
Per serie a termini di segno alterno è disponibile il [[criterio di Leibniz]], il quale afferma che se ''a<sub>n</sub>'' tende a 0, allora la serie <math>\sum_{i=0}^\infty (-a)^ia_i</math> converge.
==Bibliografia==
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