Coordinate trilineari: differenze tra le versioni
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In [[geometria]], le '''coordinate trilineari''' di un punto relative a un [[triangolo]] dato descrivono le distanze proporzionali dai tre lati del triangolo. Le coordinate trilineari sono un esempio di [[coordinate omogenee]]. Sono a volte chiamate ''trilineari''.
==Esempi==
L'[[incentro]] ha coordinate trilineari 1 : 1 : 1; cioè, le distanze dai lati ''BC'', ''CA'', ''AB'' del triangolo ''ABC'' sono proporzionali alle distanze reali, le quali formano la tripletta ordinata (''r'', ''r'', ''r''), dove ''r'' è l'[[inraggio]] del triangolo ''ABC''. Nota che la notazione ''x'':''y'':''z'' usando i doppi punti distingue le coordinate trilineari dalle reali distanze, (''kx'', ''ky'', ''kz''), che è la notazione usuale per una tripletta ordinata, e che puo' essere ottenuta da ''x'' : ''y'' : ''z'' usando il numero
: <math>k = \frac{2\sigma}{ax + by + cz}</math>
dove ''a'', ''b'', ''c'' sono rispettivamente le lunghezze ''BC'', ''CA'', ''AB'', e σ = area di ''ABC''. (La "Notazione con la virgola" per le coordinate trilineari dovrebbe essere deprecata, poiche la notazione (''x'', ''y'', ''z''), che indica una tripletta ordinata, non permette, per esempio, (''x'', ''y'', ''z'') = (2''x'', 2''y'', 2''z''), mentre la "Notazione con i doppi punti" permette( ''x'' : ''y'' : ''z'') = (2''x'' : 2''y'' : 2''z''.)
Siano ''A'', ''B'', e ''C'' i vertici di un triangolo, o i corrispondenti angoli su questi vertici. Le coordinate trilineari per alcuni punti notevoli sono:
[[Image:Trilinear coordinates.svg|right|300px]]
:* ''A'' = 1 : 0 : 0
:* ''B'' = 0 : 1 : 0
:* ''C'' = 0 : 0 : 1
:* [[incentro]] = 1 : 1 : 1
:* [[baricentro]] = ''bc'' : ''ca'' : ''ab'' = 1/''a'' : 1/''b'' : 1/''c'' = csc ''A'' : csc ''B'' : csc ''C''.
:* [[circocentro]] = cos ''A'' : cos ''B'' : cos ''C''.
:* [[ortocentro]] = sec ''A'' : sec ''B'' : sec ''C''.
:* [[Cerchio di Feuerbach|Centro della circonferenza di Feuerbach]] = cos(''B'' − ''C'') : cos(''C'' − ''A'') : cos(''A'' − ''B'').
:* [[Punto di Lemoine]] = ''a'' : ''b'' : ''c'' = sin ''A'' : sin ''B'' : sin ''C''.
:* ''A''-excentro = −1 : 1 : 1
:* ''B''-excentro = 1 : −1 : 1
:* ''C''-excentro = 1 : 1 : −1
==Formule==
Le coordinate trilineari permettono molti metodi algebrici per la risoluzione di problemi relativi alla geometria del triangolo. Per esempio, tre punti
:''P = p'' : ''q'' : ''r''
:''U = u'' : ''v'' : ''w''
:''X = x'' : ''y'' : ''z''
sono collineari [[se e solo se]] il [[determinante]]
:<math> D = \begin{bmatrix}p&q&r\\
u&v&w\\x&y&z\end{bmatrix}.</math>
è uguale a zero. Il perché di questo si ha poiché le rette
:''pα + qβ + rγ = 0''
:''uα + vβ + wγ = 0'',
:''xα + yβ + zγ = 0''
concorrono in un punto [[se e solo se]] ''D = 0.''
Molte [[cubiche]] sono facilmente rappresentabili usando le coordinate trilineari. Per esempio:
: Cubica di Thomson cubic: ''Z(X(2),X(1))'', dove ''X(2) = ''[[baricentro]], ''X(1) = ''[[incentro]]
: Cubica di Feuerbach: ''Z(X(5),X(1))'', dove ''X(5) = ''[[Punto di Feuerbach]]
: Cubica di Darboux: ''Z(X(20),X(1))'', dove ''X(20) = ''[[Punto di De Longchamps]]
==Conversioni==
Un punto con coordinate trilineari ''α'' : ''β'' : ''γ'' ha coordinate baricentriche ''aα'' : ''bβ'' : ''cγ'' dove ''a'', ''b'', ''c'' sono le lunghezze dei lati del triangolo. Similmente, un punto con coordinate baricentriche ''α'' : ''β'' : ''γ'' ha coordinate trilineari ''α/a'' : ''β/b'' : ''γ/c''.
Vi sono formule per passare dalle coordinate trilineari alle [[coordinate cartesiane]]. Dato un triangolo di riferimento ABC si esprime la posizione del vertice B in termini di una coppia ordinata di coordinate cartesiane e si rappresenta questo algebricamente come un [[vettore (matematica)|vettore]] <u>''a''</u> usando il vertice C come origine. Similmente si definisce la posizione del vettore del vertice A come <u>''b''</u>. Quindi ogni punto P associato con il triangolo di riferimento ABC puo' essere definito in un sistema Cartesiano a due dimensioni come il vettore <u>''p''</u> = α<u>''a''</u> + β<u>''b''</u>. Se questo punto P ha coordinate trilineari x : y : z la formula di conversione sarà la seguente:
: <math>x:y:z = \frac{\beta}{a} : \frac{\alpha}{b} : \frac{1 - \alpha - \beta}{c} </math>
o alternativamente:
: <math>\alpha = \frac{by}{ax + by + cz} \mbox{ e } \beta = \frac{ax}{ax + by + cz}.</math>
== Voci correlate ==
* [[Coordinate baricentriche]]
==Collegamenti esterni==
*[http://mathworld.wolfram.com/TrilinearCoordinates.html Trilinear Coordinates] on Mathworld.(inglese)
*[http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers - ETC] by Clark Kimberling; has trilinear coordinates (and barycentric) for more than 3200 triangle centers(inglese)
[[Categoria:Geometria del triangolo]]
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