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Algebra di Banach: differenze tra le versioni

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{{T|lingua=inglese|argomento=matematica|data=febbraio 2007}}
 
In [[matematica]] e specialmente in [[analisi funzionale]] un''''algebra di Banach''', dal nome del matematico [[Stefan Banach]], è un'[[algebra associativa]] ''A'' sui [[numero reale|numeri reali]] o sui [[numero complesso|numeri complessi]] che è anche uno [[spazio di Banach]]. L'algebra della moltiplicazione e lo spazio normato di Banach devono essere collegati dalla seguente diseguaglianza:
:<math> \forall x, y \in A , \|x \, y\| \ \leq \|x \| \, \| y\| </math>
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Questo assicura che l'operazione di moltiplicazione è una [[funzione continua]].
 
Se si sotituiscesostituisce lo [[spazio di Banac]] con uno [[spazio normato]] la struttura che si ottiene è detta '''algebra normata'''
Un'algebra di Banach è detta "unital" se ha un [[elemento identità]] per l'operazione di moltiplicazione la cui norma è 1, e "commutativa" se la sua moltiplicazione è [[commutativa]].
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* I [[quaternioni]] formano un'algebra di Banach reale 4-dimensionale, con la norma data dal valore assoluto del quaternione.
* L'algebra di tutti le funzioni limitate (a valori reali o complessi) definite su un qualsiasi insieme (con la moltiplicazione puntuale e la norma dell'[[estremo superiore]]) è un'algebra di Banach "unital"
* The algebra of all bounded [[continuous function (topology)|continuous]] real- o complex-valued functions on some [[locally compact space]] (again with pointwise operations e supremum norm) is a Banach algebra.
* Ogni [[C*-algebra]] è un'algebra di Banach.
* The algebra of all [[continuous function (topology)|continuous]] [[linear transformation|linear]] operators on a Banach space E (with functional composition as multiplication e the [[operator norm]] as norm) is a unital Banach algebra. The set of all compact operators on E is a closed ideal in this algebra.
* Gli operatori lineari continui su uno [[spazio di Hilbert]] formano una C-star-algebra e quindi un'algebra di Banach.
* Se ''G'' è a [[locally compact]] [[Hausdorff space|Hausdorff]] [[topological group]] e μ la sua [[Haar measure]], allora lo spazio di Banach L<sup>1</sup>(''G'') di tutte le funzioni μ-integrabili su ''G'' diventa un'algebra di Banach sotto the [[convolution]] ''xy''(''g'') = ∫ ''x''(''h'') ''y''(''h''<sup>-1</sup>''g'') dμ(''h'') for ''x'', ''y'' in L<sup>1</sup>(''G'').
 
== Proprietà ==
Molte [[elenco di funzioni|funzioni elementari]] che sono definite attraverso [[serie di potenze]] possono essere definite in ogni algebra di Banach unital; gli esempi includono la [[funzione esponenziale]] e le [[funzioni trigonometriche]]. La formula per le [[serie geometriche]] e il [[teorema binomiale]] also remain valid in general unital Banach algebras.
 
L'insieme di [[invertible element]]s in ogni unital Banach algebra è un [[insieme aperto]], e the inversion operation on this set is continuous, so that it forms a [[topological group]] under multiplication.
 
Le algebre di Banach unital forniscono uno strumento idealeper lo studio della teoria spettrale generale. Lo ''spettro'' di un elemento ''x'' è formato da tutti quegli [[scalare|scalari]] λ tali che ''x'' -λ1 non è invertibile. (Nell'algebra di Banach di tutte le matrici ''n''x''n'' su menzionate, lo spettro di una matrice coincide con l'insieme di tutti i suoi [[autovalori]].) Lo spettro di ogni elemento è uno [[spazio compatto]]. Se il campo di appoggio dell'algebra è il campo dei [[numeri complessi]], allora lo spettro di ogni elemento è non-vuoto.▼
 
The various algebras of functions given in the examples above have very different properties from standard examples of algebras such as the reals. Ad esempio:
 
* Every real Banach algebra which is a [[division algebra]] is isomorphic to the reals, the complexes, o the quaternions. Hence, the only complex Banach algebra which is a division algebra is the complexes.
* Every unital real Banach algebra with no [[zero divisor]]s, and in which every [[principal ideal]] is [[closed set|closed]], is isomorphic to the reals, the complexes, or the quaternions.
* Every commutative real unital [[noetherian ring|noetherian]] Banach algebra with no zero divisors is isomorphic to the real or complex numbers.
* Every commutative real unital noetherian Banach algebra (possibly having zero divisors) is finite-dimensional.
* Permanently singular elements in Banach algebras are [[topological divisior of zero|topological divisors of zero]], i.e. considering extensions ''B'' of Banach algebras ''A'' some elements that are singular in the given algebra A have a multiplicative inverse element in a Banach algebra extension ''B''. Topological divisors of zero in ''A'' are permanently singular in all Banach extension ''B'' of ''A''.
 
== Voci correlate ==
 
▲Le algebre di Banach unital forniscono uno strumento idealeperideale per lo studio della teoria spettrale generale. Lo ''spettro'' di un elemento ''x'' è formato da tutti quegli [[scalare|scalari]] λ tali che ''x'' -λ1 non è invertibile. (Nell'algebra di Banach di tutte le matrici ''n''x''n'' su menzionate, lo spettro di una matrice coincide con l'insieme di tutti i suoi [[autovalori]].) Lo spettro di ogni elemento è uno [[spazio compatto]]. Se il campo di appoggio dell'algebra è il campo dei [[numeri complessi]], allora lo spettro di ogni elemento è non-vuoto.
* [[Uniform algebra]] A Banach algebra that is a subalgebra of C(X) with the supremum norm and that contains the constants and separates the points of X (which must be a compact Hausdorff space).
* [[Uniform algebra|Natural Banach function algebra]] A uniform algebra whose all characters are evaluations at points of X.
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