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Numero di Betti: differenze tra le versioni

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{{Ts|lingua=inglese|argomento=matematica|data=febbraio 2007}}
 
In [[topologia algebrica]], il '''numero di Betti''' di uno [[spazio topologico]] è, in termini intuitivi, un modo di contare il massimo numero di tagli che possono essere eseguiti senza dividere uno spazio in due pezzi. Questo definisce, in effetti, quello che è chiamato il ''primo'' numero di Betti. Esiste definita una [[successione (matematica)|sequenza di numeri]] di Betti.
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Ogni numero di Betti è o un [[numero naturale]] o [[infinito]].
 
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For the most reasonable spaces (such as [[compact]] [[manifold]]s, finite [[simplicial complex]]es or [[CW complex]]es), the sequence of Betti numbers is 0 from some points onwards, and consists of natural numbers.
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Il termine "numeri di Betti" fu coniato da [[Henri Poincaré]] in riferimento a [[Enrico Betti]].
 
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Il <math>k</math>-esimo numero di Betti <math> b_{k} (X) </math> dello spazio <math> X </math> è definito come il [[rango]] del [[gruppo abeliano]] <math> H_{k}(X) </math>, il <math>k</math>-esimo [[gruppo di omologia]] di <math>X</math>.
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In modo equivalente, è possibile definirlo come la dimensione dello [[spazio vettoriale]] <math>H_{k} (X, \mathbb Q) </math>, in quanto in questo caso il gruppo di omologia è uno spazio vettoriale su <math> \mathbb Q </math>. Un caso molto semplice del [[universal coefficient theorem]] mostra che queste definizioni sono equivalenti.
-->
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More generally, given a [[Field (mathematics)|field]] <math>F</math> one can define <math> b_{k}(X,F) </math>, the <math>k</math>-th Betti number with coefficients in <math>F</math>, as the vector space dimension of <math>H_{k}(X,F) </math>.
 
-->
==Proprietà==
 
I numeri di Betti (razionali) <math> b_{k}(X) </math> non tengono conto della [[torsione]] dei gruppi di omologia, ma sono invarianti topologici basilari molto utili. Nei termini più intuitivi, permettono di contare il numero di ''buchi'' <!-- di una [[varietà]] (?) --> in diverse dimensioni. Per un cerchio, il primo numero di Betti è 1. Per un generico [[pretzel]] il primo numero di Betti è il doppio del numero dei buchi.
 
<!--
 
In the case of a finite simplicial complex the homology groups <math> H_{k} (X, \mathbb Z) </math> are finitely-generated, and so has a finite rank. Also the group is 0 when <math>k </math> exceeds the top dimension of a simplex of <math>X</math>.
 
For a finite CW-complex ''K'' we have
:<math>\chi(K)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^ib_i(K,F) , \,\!</math>
where <math>\chi(K)</math> denotes [[Euler characteristic]] of ''K'' and any field ''F''.
 
For any two spaces ''X'' and ''Y'' we have
:<math>P_{X\times Y}=P_XP_Y , \,\!</math>
where <math>P_X</math> denotes the '''Poincaré polynomial''' of ''X'', i.e. the
[[generating function]] of the Betti numbers of ''X'':
:<math>P_X(z)=b_0(X)+b_1(X)z+b_2(X)z^2+\cdots , \,\!</math>
see [[Künneth theorem]].
 
If ''X'' is ''n''-dimensional manifold, there is symmetry interchanging ''k'' and ''n'' &minus; ''k'', for any ''k'':
:<math>b_k(X)=b_{n-k}(X) , \,\!</math>
under conditions (a ''closed'' and ''oriented'' manifold); see [[Poincaré duality]].
 
The dependence on the field ''F'' is only through its [[characteristic (field)|characteristic]]. If the homology groups are [[torsion-free]], the Betti numbers are independent of ''F''. The connection of ''p''-torsion and the Betti number for [[characteristic p]], for ''p'' a prime number, is given in detail by the [[universal coefficient theorem]] (based on [[Tor functors]], but in a simple case).
-->
==Esempi==
 
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In effetti, per un ''n''-[[toro]] ci si può aspettare di veder comparire i [[coefficienti binomiali]]. Questo è il caso del teorema di Künneth.
<!--
 
{{Portale|matematica}}▼
It is possible for spaces that are infinite-dimensional in an essential way to have an infinite sequence of non-zero Betti numbers. An example is the infinite-dimensional [[complex projective space]],
with sequence 1, 0, 1, 0, 1, ... that is periodic, with [[period length]] 2.
 
==Relationship with dimensions of spaces of [[differential form]]s==
 
In geometric situations, the importance of the Betti numbers may arise from a different direction, namely that they predict the dimensions of vector spaces of [[closed differential form]]s ''[[modulo]]'' [[exact differential form]]s. The connection with the definition given above is via three basic results, [[de Rham's theorem]] and [[Poincaré duality]] (when those apply), and the [[universal coefficient theorem]] of [[homology theory]].
 
There is an alternate reading, namely that the Betti numbers give the dimensions of spaces of [[harmonic form]]s. This requires also the use of some of the results of [[Hodge theory]], about the [[Hodge Laplacian]].
 
== Betti number in graph theory ==
 
In [[topological graph theory]] the first Betti number of a graph ''G'' with ''n'' vertices,
''m'' edges and ''k'' connected components equals
 
:''m'' &minus; ''n'' + ''k''.
 
This may be proved straightforwardly by [[mathematical induction]] on the number of edges. A new edge either increments the number of 1-cycles or decrements the number of connected components.
-->
[[Categoria:Topologia algebrica]]
<!--
[[Category:Graph invariants]]
[[Category:Topological graph theory]]
-->
 
▲{{Portale|matematica}}
 
[[de:Bettizahl]]
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Betti"