Versione delle 16:19, 29 set 2008 modifica Piddu (discussione \| contributi) Utenti autoverificati 20 674 modifiche m →‎Funzione a valori vettoriali?: B? ← Differenza precedente		Versione delle 15:19, 30 set 2008 modifica annulla Piddu (discussione \| contributi) Utenti autoverificati 20 674 modifiche mNessun oggetto della modifica Differenza successiva →
Riga 1: [[Immagine:Multivalued function.svg\|thumb\|Questa corrispondenza è una funzione polidroma poiché 3 viene mandato sia in ''b'' che in ''c'']] In [[matematica]], una '''funzione polidroma''' (o '''funzione multivoca''' o '''multifunzione''') è una funzione che può avere più valori. Le funzioni polidrome sono usate soprattutto in [[analisi complessa]]. == Definizione == Line 11 ⟶ 9: Una definizione equivalente vede una funzione polidroma come un sottoinsieme ''R'' del [[prodotto cartesiano]] <math>X\times Y</math> tale che per ogni ''x'' in ''X'' esiste almeno un ''y'' in ''Y'' per cui <math>(x,y) \in R</math> (cioè una [[relazione binaria]] tra ''X'' e ''Y'' "totale a sinistra"). ~~Una~~Nel ~~funzione~~contesto ~~polidroma~~delle ~~che~~funzioni ~~sia~~polidrome, una funzione nel senso usuale del termine èviene detta '''monodroma'''. In questo caso, <math>f(x) </math> è formato da un elemento solo per ogni <math>x</math>. Utilizzando l'insieme delle parti viene infatti aggirato il problema di avere per ogni input una ''e una sola'' [[immagine (matematica)\|immagine]], associando all'elemento di partenza un intero insieme, che è un unico elemento se considerato all'interno dell'insieme delle parti del [[codominio]]. ==Funzione a valori vettoriali?== Line 25 ⟶ 23: :<math>\sqrt[n]{z} \; \; \; n \in \mathbb{Z}</math> intesa come [[funzione inversa\|inversa]] della funzione funzione monodroma <math>z^n</math>. ~~Ebbene usando~~Usando la [[Rappresentazione dei numeri complessi\|rappresentazione polare]] <math>z = \rho e^{i \theta}</math> e ricordando che ogni numero complesso espresso in forma polare deve riportare l'intervallo di definizione dell'argomento <math>0 \le \theta < 2 \pi</math> affinché il numero sia ben definito ~~(ovviamente <math>\rho > 0</math>)~~abbiamo: :<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho} \cdot \sqrt[n]{e^{i \theta + i 2 k \pi}}= \sqrt[n]{\rho} \left(e^{\frac{i \theta + i 2 k \pi}{n}} \right)</math> siSi vede chiaramente che se <math>\sqrt[n]{\rho}</math> è ben definito (ovviamente <math>\rho > 0</math>), ~~viceversa~~ma al contrario l'argomento della funzione radice ennesima: :<math>arg(\sqrt[n]{z}) = \frac{i \theta + i 2 k \pi}{n}</math> è chiaramente non definitivamente determinato. Questo implica che anche se <math>z^n</math> è univocamente determinato dalla determinazione principale del suo argomento, la sua inversa non è univocamente determinata, di conseguenza si avranno <math>n</math> valori, in corrispondenza degli <math>n</math> valori dell'argomento di <math>\sqrt[n]{z}</math>. Per ritornare allo stesso punto bisogna dunque eseguire <math>n</math> giri intorno all'origine. Da notare che la funzione resta monodroma se restringiamo l'intervallo di definizione dell'argomento ad un settore tra <math>n</math> ed <math>n+1</math>. ===Logaritmo=== Line 56 ⟶ 54: ===Altre caratteristiche della polidromia=== Caratteristica di molte funzioni polidrome è l'esistenza di punti di [[singolarità isolata\|singolarità non isolate]] che sono detti '''punti di diramazione''' di ordine <math>n</math>, se compiendo <math>n + 1</math> giri nello stesso verso, la funzione assume sempre lo stesso valore iniziale; edsi èdice invece un punto di diramazione ''di ordine infinito'', se per quante volte si giri intorno al punto singolare la funzione non torna mai ad assumere lo stesso valore iniziale. A parte i due punti di diramazione in zero e all'infinito la funzione logaritmo è [[funzione analitica\|analitica]]. Ciò significa che si può sviluppare in [[serie di Taylor]] entro un cerchio di convergenza di centro <math>z_0</math> di raggio <math>\|z_0\|</math>: :<math>log z = log z_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac {\left[\frac {z-z_0}{z} \right]^n}{n}</math> Line 70 ⟶ 68: Ognuna delle funzioni monodrome che si potrebbero definire al variare della scelta all'interno dell'insieme <math>f^{-1}(y)</math> viene detto '''ramo''' dell'inversa; il valore effettivamente scelto dalla convenzione si dice il '''ramo principale''' e il valore che esso assume '''valore principale'''. Ad esempio, sempre per il [[seno (matematica)\|seno]]: i rami di <math>f^{-1}(y)</math> sono <math>x=\arcsin y</math>, <math>x=\arcsin y + 2\pi</math>, <math>x=\arcsin y + 4\pi</math>, eccetera, e il valore principale di <math>f^{-1}(1)</math> è <math>\pi/2</math>, mentre gli altri suoi valori non principali sono <math>{5\pi \over 2}, {9\pi \over 2}, {13\pi \over 2},...</math>. Esistono [[teorema\|teoremi]] che assicurano, a seconda delle varie geometrie del dominio, la [[funzione continua\|continuità]] di tali rami e la relazione tra essi: si verifica ad esempio che l'esistenza di un ramo continuo dell'argomento è [[condizione necessaria e sufficiente]] all'esistenza di un ramo continuo del logaritmo. ==Voci correlate== Riga 76: [[Superficie di Riemann]] [[Funzione inversa]] {{Portale\|matematica}}

Funzione polidroma: differenze tra le versioni