|
Il "''teorema del gradiente"'', noto anche come "''teorema fondamentale del calcolo per integrali di linea"'', afferma che un l'[[integrale di linea]] di un [[campo vettoriale conservativo]], che può cioè essere espresso come il [[gradiente]] di un [[campo scalare]], può essereè calcolatocalcolabile semplicemente valutando il [[campo scalare]] originaleconsiderato (noto a meno di una costante) agli estremi della curva su cui è svolta l'integrazione. Ricordiamo che ogni [[campo vettoriale irrotazionale]] può essere espresso come il gradiente di un campo scalare. In formule il teorema diventa:
: <math> \phi\left(\mathbf{q}\right)-\phi\left(\mathbf{p}\right) = \int_Lint_{\Sigma} \nabla\phi\cdot d\mathbf{r} </math>
dove <math>L\Sigma</math> è una curva qualsiasi orientata da <math>'''p</math>''' a <math>'''q</math>'''. E' chiaramente ununa generalizzazione del [[teorema fondamentale del calcolo]] ad una curva qualsiasi, piuttosto che ad un segmento della retta reale.
Il teorema del gradiente implica che gli integrali di linea di un campo irrotazionaleconservativo sono indipendenti dal percorso. In [[Fisicafisica]] questo teorema è uno dei modi comunemente usati per definire unai forza[[Potenziale scalare|potenziali scalari]]. Il significato fondamentale è che il [[lavoro (fisica)|lavoro]] fatto da forze conservative non dipende dal percorso seguito, ma solo dagli estremi, come mostra l'equazione sopra conservativascritta.
Usando <math> \phi </math> come potenziale, <math> \nabla\phi </math> è un [[campo conservativo]]. Il lavoro fatto da forze conservative non dipende dal percorso seguito, ma solo dagli estremi, come mostra l'equazione sopra scritta.
Può essere derivato direttamente dal [[teorema di Stokes]]. Sia <math>\, \phi</math> un campo scalare, e <math>\Sigma</math> una curva da '''p''' a '''q'''; si ha
Sia <math> \phi </math> un [[campo scalare]].
: <math> \, \int_{\partial L\Sigma} \phi = \ int_Lint_{\Sigma} d\phi </math> ▼Sia "L" un segmento da '''p''' a '''q'''.
ma dato che <math> \partial \Sigma</math> si riduce alla coppia costituita dai due estremi della curva
Per il [[teorema di Stokes]]:
▲:<math> \int_{\partial L} \phi = \int_L d\phi </math>
ma dato che <math> \partial L = \mathbf q - \mathbf p </math>,
:<math> \phi\left(\mathbf{q}\right)-\phi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L d\phi </math> ▼
▲: <math> \phi \left(\mathbf{q}\right) - \phi \left(\mathbf{p}\right) = \ int_Lint_{\Sigma} d\phi = \int_{\Sigma} \nabla\phi \cdot d\mathbf{r}</math>
Limitandoci allo spazio euclideo, ed esplicitando le coordinate cartesiane:
come si voleva far vedere.
:<math> d\phi = \sum_i \frac{\partial \phi}{\partial x_i} dx_i = \left(\frac{\partial}{\partial x_i}\right)\phi\cdot\left(dx_i\right) = \nabla\phi\cdot d\mathbf{r}</math>
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Calcolo vettoriale]]
[[Categoria:Teoremi|Gradiente]]
| 