Versione delle 19:22, 4 ott 2008 modifica Ylebru (discussione \| contributi) Utenti autoverificati 22 576 modifiche scrivo in modo più rigoroso la sezione sulle radici di un numero qualsiasi, metto -1 fra gli esempi ← Differenza precedente		Versione delle 19:25, 4 ott 2008 modifica annulla Ylebru (discussione \| contributi) Utenti autoverificati 22 576 modifiche →‎Radici di un numero complesso qualsiasi: ah, e -1 è vertice solo quando n è dispari. Differenza successiva →
Riga 20: ==Radici di un numero complesso qualsiasi== Le radici <math> n</math>-esime di un numero complesso <math> z </math> possono essere descritte in modo più agevole rappresentando il numero complesso in [[coordinate polari\|forma polare]] :<math>z = \|z\|e^{i\phi} = \|z\|\left(\cos \phi + i \sin \phi\right).\,\!</math> Se <math>z</math> è diverso da zero, le radici <math>n</math>-esime di <math>z</math> sono effettivamente <math>n</math> radici distinte. Una di queste è la seguente :<math>~~w_1~~w_0 = \sqrt[n]{\|z\|} e^{\frac {i\phi}n}. </math> Infatti :<math>~~w_1~~w_0 = \left(\sqrt[n]{\|z\|} e^{\frac {i\phi}n}\right)^n = \|z\| e^{\frac {ni\phi}n} = \|z\|e^{i\phi}.</math> Più in generale, le <math>n</math> radici <math>w_0,\ldots, w_{n-1}</math> di <math>z</math> si ottengono moltiplicando <math>~~w_1~~w_0</math> con le <math>n</math> radici dell'unità. Quindi :<math>w_k= \sqrt[n]{\|z\|} \left( \cos \left( \frac{\phi}{n}+ \frac{2\pi k}{n} \right) + i \sin \left( \frac{\phi}{n} + \frac{2\pi k}{n} \right) \right) </math> Queste radici formano sempre i vertici di un [[poligono regolare]] di <math>n</math> lati centrato nell'origine. Il raggio del poligono è <math>\sqrt[n]{\|z\|}</math>. Riga 33: :<math>\sqrt[4] a, i\sqrt[4] a, -\sqrt[4] a, -i\sqrt[4] a.</math> Le radici <math>n</math>-esime di -1 formano nel [[piano complesso]] un [[poligono regolare]] di <math> n </math> lati, centrato nell'origine~~, con un vertice in <math>(-1,0)</math>~~: lo si può ottenere ruotando di <math>\pi/n</math> in senso antiorario il poligono formato dalle radici <math>n</math>-esime dell'unità. Il numero <math>-1</math> è vertice del poligono quando <math>n</math> è dispari. ==Alcune radici di 1==

Radice dell'unità: differenze tra le versioni