Differenze tra le versioni di "Automorfismo interno"

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GliUn '''automorfismiautomorfismo interniinterno''' di un [[gruppo sono(matematica)|gruppo]] gliè automorfismiun [[automorfismo]] indottiindotto da ogniun elemento ''g'' del gruppo tramite [[coniugio]]., cioè un automorfismo nella forma
:<math>T_g(x)=g^{-1}xg</math>
Infatti, fissato ''g'', la funzione che associa a ogni ''x'' del gruppo il suo coniugato <math>g^{-1}xg</math>, è un [[omomorfismo]] [[iniettivo]] e [[suriettivo]] ovvero un [[isomorfismo]]. Inoltre due elementi ''g'' ed ''h'' che appartengono allo stesso laterale del [[centro]] ''Z'' inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se ''g''=''hz'' con ''z'' nel centro allora <math>g^{-1}xg</math> = <math>z^{-1}h^{-1}xhz</math> = <math>h^{-1}xh</math>. Ovviamente in un [[gruppo abeliano]] l'unico automorfismo interno è l' identità.
per un elemento fissato ''g'' del gruppo. Un automorfismo che non è interno è detto [[automorfismo esterno|esterno]].
 
Infatti, fissato ''g'',questa la funzione che associa a ogni ''x'' del gruppo il suo coniugato <math>g^{-1}xg</math>, è un [[omomorfismo]] [[iniettivo]] e [[suriettivo]], ovvero un [[isomorfismo]]. Inoltre due elementi ''g'' ed ''h'' che appartengono allo stesso laterale del [[centro]] ''Z'' inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se ''g''=''hz'' con ''z'' nel centro allora <math>g^{-1}xg</math> = <math>z^{-1}h^{-1}xhz</math> = <math>h^{-1}xh</math>. Ovviamente in un [[gruppo abeliano]] l'unico automorfismo interno è l' identità.
Nel [[gruppo simmetrico]] su n elementi, se n è diverso da 6, tutti gli automorfismi sono interni.
 
L'insieme degli automorfismi interni forma un gruppo, denotato con Inn(G), che è un [[sottogruppo normale]] del gruppo Aut(G) degli automorfismi del gruppo G. Inn(G) è [[isomorfo]] al [[gruppo quoziente]] G/Z(G), dove Z(G) è il [[centro di un gruppo|centro]] di G.
 
Nel [[gruppo simmetrico]] su ''n'' elementi, se ''n'' è diverso da 6, tutti gli automorfismi sono interni.
 
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