Argomento diagonale di Cantor: differenze tra le versioni
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# Questa successione di cifre sulla diagonale, vista come un'espansione decimale, definisce un numero reale 0.5140235... . Ora consideriamo un nuovo numero reale ''x'' che abbia invece ''tutte le cifre differenti dalla sequenza sulla diagonale'', un modo per definire un numero siffatto è il seguente:
#:''x'' è il numero reale compreso tra 0 e 1 tale che
#* se la ''k''-esima cifra decimale di ''r''<sub>''k''</sub> è 5, 6, 7, 8 o 9, allora la ''k''-esima cifra di ''x'' è 4
#* se la ''k''-esima cifra di ''r''<sub>''k''</sub>
#:Nell'esempio otteniamo:
#: ''x'' = 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...
#:In realtà ci sono diversi modi di definire numeri con tutte le cifre diverse dalla diagonale, per esempio si potrebbe prendere la cifra successiva [[aritmetica modulare|modulo]]
# All'inizio dell'argomento avevamo supposto che la nostra lista {''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ''r''<sub>3</sub>, ... } enumerasse ''tutti'' i numeri reali compresi tra 0 e 1, quindi dovremmo avere ''r''<sub>''n''</sub> = ''x'' per qualche ''n'' e poiché ''x'' non ha dei 9 tra le cifre decimali la sua rappresentazione è unica. Tale unica rappresentazione dovrà quindi essere quella presente nella riga ''n''-esima della tabella.
# A questo punto emerge una [[contraddizione]]: sia ''a'' la ''n''-esima cifra decimale di ''r''<sub>''n''</sub> = ''x''. Essa può essere 4 o 5. Per come è definito ''x'' ''a'' deve essere 4 se e solo se è uguale a 5 e 5 se e solo sè è uguale a 4. Questo è impossibile e ne segue che l'ipotesi di partenza è falsa e cioè [0,1] non è numerabile. <math>\square</math>
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