Mappa esponenziale: differenze tra le versioni
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== Definizione ==
Sia <math>p</math> un punto in una [[varietà differenziabile]] <math>M</math>. La '''mappa esponenziale''' è una mappa
:<math>{\rm exp}:U\to M \,\!</math>
definita su un [[insieme aperto]] <math>U</math> dello [[spazio tangente]] <math>T_p</math> in <math>p</math> contenente l'origine, nel modo seguente.
Per ogni vettore <math>v</math> non nullo dello spazio tangente, esiste un'unica [[geodetica]]
:<math>\gamma (-a,b) \to M \,\!</math>
con <math>\gamma(0) = p </math> e <math>\gamma'(0) = v </math>. La geodetica è qui descritta nel suo dominio massimale: i numeri <math>a</math> e <math>b</math> sono positivi o <math>\infty</math>. Se <math>b>1</math>, si definisce <math>{\rm exp}(v) = \gamma(1)</math>.
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=== Completezza ===
Il [[teorema di Hopf-Rinow]] fornisce varie nozioni equivalenti di [[spazio completo|completezza]] per una varietà riemanniana. Tra queste, c'è la possibilità di prolungare indefinitivamente ogni geodetica. Segue quindi che se <math>M</math> è completa la mappa esponenziale è definita su tutto lo spazio tangente
:<math>{\rm exp}:T_x\to M\,\! </math>
per ogni punto <math>x</math> di <math>M</math>.
=== Invertibilità locale ===
La mappa esponenziale è [[funzione continua|continua]] e [[funzione differenziabile|differenziabile]], con differenziale [[funzione invertibile|invertibile]] nell'origine. Per il [[teorema di invertibilità locale]], esiste un intorno <math>V</math> dell'origine in <math>T_x</math> tale che
:<math>f|_V:V\to f(V)\,\! </math>
è un [[diffeomorfismo]]. La mappa esponenziale è cioè un [[diffeomorfismo locale]] nell'origine, ed è quindi utile a modellizzare la varietà <math>M</math> localmente vicino a <math>x</math>.
=== Raggio di iniettività ===
Benché lo sia in un intorno dell'origine, la mappa esponenziale non è però necessariamente globalmente [[funzione iniettiva|iniettiva]]: il [[raggio di iniettività]] di <math>M</math> in <math>x</math> è il massimo numero <math>R</math> tale che la mappa
:<math>f|_{B_R}:B_R\to M\,\!</math>
ristretta alla [[palla (matematica)|palla]] di raggio <math>r</math> centrata in zero è iniettiva. La palla è
:<math>B_R = \big\{x\in T_x\ \big|\ |x|<R\big\} </math>
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