Tensore di curvatura di Ricci: differenze tra le versioni
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Si tratta dell'unica contrazione che può dare un tensore non-nullo (le altre due possibilità danno un tensore nullo a causa delle simmetrie del tensore di Riemann). Per distinguerlo dal tensore di Riemann, nella notazione senza indici è a volte indicato con il simbolo <math>{\rm Ric}</math>.
== Proprietà algebriche ==
=== Tensore simmetrico ===
Il tensore di Ricci è un [[tensore simmetrico]]:
:<math>R_{ij} = R_{ji}\,\!.</math>
Il tensore di Ricci è quindi simmetrico di ordine (0,2), come il [[tensore metrico]] <math>g</math>. Si tratta quindi di una [[forma bilineare simmetrica]] definita su ogni [[spazio tangente]]. Confrontare il tensore di Ricci con il tensore metrico è quindi un'operazione naturale, che ha dato luogo (fra le altre cose) alla formulazione dell'[[equazione di campo di Einstein]].
Come tutte le forme bilineari simmetriche, il tensore di Ricci è determinato dalla [[forma quadratica]] associata, e quindi dai valori che la funzione
=== Media delle curvature sezionali ===▼
Sia <math>v</math> un vettore tangente di lunghezza unitaria. Il numero▼
assume sulla sfera dei vettori di norma unitaria dello spazio tangente.
▲:<math>{\rm Ric}(v,v) = R_{ij}v^iv^j\,\!</math>
è la media delle curvature sezionali dei piani passanti per <math>v</math>, moltiplicata per <math>(n-1)</math>.▼
=== Varietà di Einstein ===
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=== Ricci e Riemann ===
Il tensore di Ricci determina il tensore di Riemann se la varietà ha dimensione 2 o 3. In dimensione più alta questo non è più vero: ad esempio, esistono varietà Ricci-piatte (cioè con tensore di Ricci nullo) che non sono però Riemann-piatte (il tensore di Riemann non si annulla).
== Proprietà geometriche ==
▲=== Media delle curvature sezionali ===
Le [[curvatura sezionale|curvature sezionali]] di una varietà riemanniana determinano il [[tensore di Riemann]] e conseguentemente anche il tensore di Ricci. D'altra parte, il tensore di Ricci fornisce una media delle curvature sezionali lungo rette. Più precisamente,
:<math>{\rm Ric}(v,v) \,\!</math>
▲è la media delle curvature sezionali dei piani passanti per <math>v</math>, moltiplicata per <math>(n-1)</math>.
=== Distorsione del volume ===
Il tensore di Ricci misura il modo in cui la [[forma volume]] della varietà differisce localmente dall'usuale forma volume euclidea. In una [[atlante (topologia)|carta]] determinata da [[coordinate geodetiche]] intorno ad un punto, il [[tensore metrico]] è bene approssimato dalla metrica Euclidea, nel senso che vale la formula
:<math>g_{ij} = \delta_{ij}+ O (|x|^2).\,\!</math>
In queste coordinate, la forma volume ha la forma seguente.
:<math>d\mu_g = \Big[ 1 - \frac{1}{6}R_{jk}x^jx^k+ O(|x|^3) \Big] d\mu_{\delta}</math>
Quindi se ad esempio
:<math>\operatorname {Ric}(v,v)>0\,\!</math>
e <math>C</math> è un cono di vettori dello spazio tangente sufficientemente piccolo e centrato in <math>v</math>, e
:<math>\operatorname {exp}:T_x \to M </math>
è la [[mappa esponenziale]], allora
:<math>\operatorname {Vol}(\operatorname{exp}(C)) < \operatorname{Vol}(C).</math>
La mappa esponenziale quindi contrae e espande localmente i volumi lungo le semirette uscenti dall'origine in relazione del segno del tensore di Ricci.
== Curvatura di Ricci positiva o negativa ==
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