Tensore di curvatura di Ricci: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
→Distorsione del volume: semplifico |
→Definizioni correlate: + tensore Einstein |
||
Riga 51:
è positiva, negativa, non-negativa, ecc. per tutti i vettori di lunghezza unitaria, allora la varietà è detta ''a curvatura di Ricci positiva, negativa, non-negativa'', etc. Se la funzione è nulla, allora il tensore di Ricci è ovunque nullo, e la varietà è detta ''Ricci-piatta''.
===
Il tensore di Ricci è l'unico tensore non nullo ottenuto contraendo due indici del tensore di Riemann. A loro volta, i due indici del tensore di Ricci possono essere contratti ed il risultato è la [[curvatura scalare]]
:<math>
La curvatura scalare è quindi la [[traccia (matrice)|traccia]] del tensore di Ricci.
A volte è utile una versione del tensore di Ricci avente traccia nulla. Si tratta del tensore seguente
:<math>Z_{ij} =R_{ij} - \frac{
ottenuto togliendo al tensore di Ricci la sua traccia, divisa per la dimensione <math>n</math>. Questo tensore è effettivamente a traccia nulla, vale cioè la relazione
:<math>Z_{ij}g^{ij} = 0.\,\!</math>
In dimensione <math>n</math> maggiore o uguale a tre, il tensore <math>Z</math> è ovunque nullo se e solo se <math>R=\lambda g</math>, cioè se la varietà è una [[varietà di Einstein]].
=== Tensore di Einstein ===
Il [[tensore di Einstein]] è definito come
:<math>G_{ij} = R_{ij} -\frac R2g_{ij}. </math>
Il tensore di Einstein è uno degli ingredienti principali dell'[[equazione di campo di Einstein]]. La proprietà cruciale di questo tensore è l'identità
:<math> \nabla_{i} G^{ij} = 0</math>
conseguenza della [[seconda identità di Bianchi]].
== Voci correlate ==
| |||