Simbolo di Christoffel: differenze tra le versioni
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\frac{\partial^2 x^m}{\partial y^i \partial y^j}. </math>
A causa del secondo addendo a destra, i simboli di Christoffel non mutano le coordinate come un tensore.
=== Torsione ===▼
{{vedi anche|Torsione (geometria differenziale)}}
I simboli di Christoffel non sono un tensore. La differenza fra due simboli di Christoffel è però un tensore: nella formula relativa ad un cambiamento di coordinate, il secondo addendo a destra (descritto sopra) infatti si cancella e resta solo il primo. D'altra parte, se <math>\Gamma_{ij}^k</math> è un simbolo di Christoffel, anche il simbolo <math>\Gamma_{ji}^k</math> ottenuto scambiando le variabili <math>i</math> e <math>j</math> è un simbolo di Christoffel (e descrive un'altra connessione). La loro differenza
=== Connessione di Levi-Civita ===
{{vedi anche|Connessione di Levi-Civita}}
Fissato un [[tensore metrico]] <math>g</math> su una [[varietà differenziabile]], esiste un'unica connessione senza torsione in cui il tensore metrico ha derivata covariante nulla. Questa connessione è detta [[connessione di Levi-Civita]] ed è quella abitualmente utilizzata per una [[varietà riemanniana]] o [[varietà pseudo-riemanniana|pseudo-riemanniana]]. I simboli di Christoffel che definiscono questa connessione sono ricavabili in una qualsiasi carta dalla relazione seguente:
:<math>\Gamma_{ij}^m=\frac12 g^{km} \left(
\frac{\partial}{\partial x^i} g_{kj}
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\right).
</math>
Nella relazione sono presenti il tensore metrico e le sue [[derivata parziale|derivate parziali]] rispetto alle coordinate fissate dalla carta (le derivate parziali ''non'' coincidono con la derivata covariante del tensore metrico, che è nulla).
▲=== Torsione ===
▲La connessione è senza [[torsione (geometria differenziale)|torsione]] se e solo se i simboli di Christoffel sono simmetrici rispetto ai due indici in basso:
▲:<math>\Gamma_{ij}^k = \Gamma_{ji}^k.</math>
== Applicazioni ==
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