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In [[matematica]], e in particolare nelle applicazioni dell'[[algebra lineare]] alla [[fisica]] la '''notazione di Einstein''' o la '''convenzione di Einstein nelle sommatorie''' è una notazione convenzionale utile quando si lavora con formule contententi indici di coordinate.
ConSecondo questa convenzione, quando unogni indice che compare all'interno di unaun variabile apparefattore più volte indi una formulavolta significadeve che la formula è unaessere sommatoriasommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere. Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello [[spazio euclideo]]), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello [[spazio di Minkowski]]), ma esso può variare in qualsiasi intervallo, compresi insiemi infiniti. La [[notazione astratta degli indici]] è uno sviluppo della notazione di Einstein.
La convenzione è stata introdotta dallo stesso [[Albert Einstein]] per rendere più concise alcune equazioni di [[geometria differenziale]] utili a formulare la [[relatività generale]]. La convenzione si applica generalmente a equazioni contenenti dei [[tensore|tensori]]. La convenzione non ha significato fisico; si tratta di un metodo di scrittura utile al formalismo matematico.
Nella [[relatività generale]], sono usati l'[[alfabeto greco]] e l'[[alfabeto romano]] per distinguere quando si somma su 1,2,3,4 o su 0,1,2,3 (in generale le lettere romane ''i'', ''j'', ... per 1,2,3,4 e quelle greche, ''μ'', ''ν'', ... per 0,1,2,3).
== Definizione ==
A volte (come nella [[relatività generale]]), l'indice appare sia come apice che come pedice; in altre applicazioni tutti gli indici sono al pedice. Vedere [[spazio vettoriale duale]] e [[prodotto tensoriale]].
Nel libro "''La teoria della relatività''", dopo un paragrafo di introduzione in cui definisce lo spazio-tempo, Einstein dedica un paragrafo ai "''Mezzi matematici per la formulazione di equazioni covarianti in modo generale''". A valle della definizione di [[quadrivettore]] covariante e controvariante, dedica una nota alla "''Osservazione sulla scrittura semplificata delle espressioni''". Dunque, fu lui stesso a usare la dizione di "''notazione semplificata''", da applicare ai [[tensore|tensori]] precedentemente introdotti. A proposito scrive:
{{quote|''Un'occhiata alle equazioni del presente paragrafo mostra che le sommatorie si effettuano sempre rispetto agli indici che si presentano due volte sotto il segno di somma e ''unicamente'' rispetto a indici siffatti. Perciò, è possibile, senza ledere la chiarezza, sopprimere il segno <math>\sum</math>. A tale scopo diamo la seguente regola: " quando un indice si presenta due volte in un termine d'una espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario".[...]. Seguendo l'uso introdotto da [[Tullio Levi-Civita|Levi-Civita]], indichiamo il carattere covariante collocando l'indice in basso e quello controvariante collocando l'indice in alto''.}}
È importante notare che la convenzione di Einstein non ha significato fisico; tuttavia, può aiutare ad identificare relazioni o simmetrie che sono 'nascoste' da convenzioni più comuni.
Usando le parole di Einstein, la convenzione è quindi la seguente:
Nel libro "La teoria della relatività", dopo un paragrafo di introduzione in cui definisce lo spazio-tempo, Einstein dedica un paragrafo ai "Mezzi matematici per la formulazione di equazioni covarianti in modo generale". A valle della definizione di quadrivettore covariante e controvariante, dedica una nota alla "Osservazione sulla scrittura semplificata delle espressioni". Dunque, fu lui stesso a usare la dizione di "notazione semplificata" e i [[tensore|tensori]] detti prima ne furono la prima applicazione.
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
A proposito scrive: ''Un'occhiata alle equazione del presente paragrafo mostra che le sommatorie si effettuano sempre rispetto agli indici che si presentano due volte sotto il segno di somma e '''unicamente''' rispetto a indici siffatti. Perciò, è possibile, senza ledere la chiarezza, sopprimere il segno <math>\sum</math>. A tale scopo diamo la seguente regola: " quando un indice si presenta due volte in un termine d'una espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario".[...]. Seguendo l'uso introdotto da Levi-Civita, indichiamo il carattere covariante collocando l'indice in basso e quello controvariante collocando l'indice in alto''.
Quando un indice si presenta due volte in un termine d'una espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario
</div>
== Introduzione ==
In meccanica ed ingegneria, i vettori in uno spazio 3D sono spesso descritti in relazione a [[vettori unitari]] [[ortogonali]]: '''i''', '''j''' e '''k'''.
:<math>\mathbf{u} = u_x \mathbf{i} + u_y \mathbf{j} + u_z \mathbf{k}</math>
Se i vettori base '''i''', '''j''', e '''k''' sono invece espressi come '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, e '''e'''<sub>3</sub>, un vettore può essere espresso in termini di una sommatoria:
:<math>\mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3
= \sum_{i = 1}^3 u_i \mathbf{e}_i</math>
Nella notazione di Einstein, un indice che è ripetuto due volte in un'equazione implica una sommatoria, e il simbolo di sommatoria non ha bisogno di essere incluso.
Ciò permette una rappresentazione algebrica sintetica di equazioni vettoriali e tensoriali. Per esempio,
:<math>\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^3 u_i \mathbf{e}_i \cdot
\sum_{j = 1}^3 v_j \mathbf{e}_j = u_i \mathbf{e}_i \cdot v_j
\mathbf{e}_j </math>
o equivalentemente:
:<math>\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}
= \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j )
= u_i v_j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j ) </math>
dove
:<math> \mathbf{e}_i \cdot
\mathbf{e}_j = \delta_{ij} </math>
e <math>\ \delta_{ij}</math> è il [[delta di Kronecker]], che è uguale a 1 quando ''i'' = ''j'', e 0 altrimenti. Logicamente segue che ciò permette di convertire un ''j'' nell'equazione in un ''i'', o un ''i'' in un ''j''. Allora,
:<math>\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_i v_j\delta_{ij}= u_i v_i = u_j v_j </math>
Per il [[prodotto vettoriale]],
:<math> \mathbf{u} \times \mathbf{v}= \sum_{j = 1}^3 u_j \mathbf{e}_j \times
\sum_{k = 1}^3 v_k \mathbf{e}_k = u_j \mathbf{e}_j \times v_k
\mathbf{e}_k = u_j v_k (\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k ) = \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k
</math>
dove <math> \mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k = \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i</math> e <math>\ \epsilon_{ijk}</math> è il [[simbolo di Levi-Civita]] definito da:
:<math>\epsilon_{ijk} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \mbox{se } (i,j,k) \mbox{ = } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ o } (3,1,2)\\
-1 & \mbox{se } (i,j,k) \mbox{ = } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ o } (2,1,3)\\
0 & \mbox{altrimenti: }i=j \mbox{ o } j=k \mbox{ o } k=i
\end{matrix}
\right.
</math>
cui risulta
:<math> \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2) \mathbf{e}_1 + (u_3 v_1 - u_1 v_3) \mathbf{e}_2 + (u_1 v_2 - u_2 v_1) \mathbf{e}_3</math>
da
:<math> \mathbf{u} \times \mathbf{v}= \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k
</math>.
inoltre, se <math> \mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}</math>, allora <math> \mathbf{w} = \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k </math> e <math>\ w_i = \epsilon_{ijk} u_j v_k </math>. Questo evidenzia anche che quando un indice appare una volta su ''entrambi'' i lati dell'equazione, questo implica un sistema di equazioni invece di una sommatoria:
:<math>
\begin{matrix}
w_1 = \epsilon_{1jk} u_j v_k\\
w_2 = \epsilon_{2jk} u_j v_k\\
w_3 = \epsilon_{3jk} u_j v_k
\end{matrix}
</math>
Alternativamente, questo può essere espresso come
:<math>
\mathbf{u} \times \mathbf{v}= \mathbf{u} \cdot \epsilon \cdot \mathbf{v}
</math>
ma questa non è la notazione di Einstein usata.
== Definizioni astratte ==
Nell'uso tradizionale, si intende uno [[spazio vettoriale]] ''V'' con dimensione finita ''n'', e una specifica [[base (algebra lineare)|base]] di ''V''. Si possono scrivere i [[Vettore (matematica)|vettori]] della base come '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>. Quindi, se '''v''' è un vettore di ''V'', ha coordinate ''v''<sub>1</sub>, ..., ''v<sub>n</sub>'' relative a questa base.
La regola di base è:
: '''v''' = ''v<sub>i</sub>'' '''e'''<sub>''i''</sub>.
In questa espressione, si è supposto che il termine alla destra debba essere sommato quando ''i'' varia da 1 a ''n'', perché l'indice ''i'' non appare ai due lati dell'espressione.
La ''i'' è nota come ''indice muto'' dal momento che il risultato non dipende da esso; in questo modo possiamo anche scrivere, per esempio:
: '''v''' = ''v<sub>j</sub>'' '''e'''<sub>''j''</sub>.
Un indice che non è stato sommato prende il nome di ''indice libero'' e deve essere ritrovato in ogni termine dell'equazione o della formula.
In contesti in cui l'indice debba apparire una volta come apice ed una volta come pedice, il vettore di base '''e'''<sub>''i''</sub> conserva il pedice ma le coordinate diventano: ''v<sup>i</sup>'' con gli apici. Dunque, la regola base è:
: '''v''' = ''v<sup>i</sup>'' '''e'''<sub>''i''</sub>.
Il valore della convenzione di Einstein è che esso si applica ad altri spazi vettoriali costruiti a partire dallo spazio ''V'' usando il [[prodotto tensoriale]] e la [[spazio vettoriale duale|dualità]]. Per esempio, <math>V\otimes V</math>, il tensore ottenuto dal prodotto di ''V'' con sé stesso, ha una base che consiste di tensori nella forma
<math>\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j</math>. Ogni tensore '''T''' in <math>V\otimes V</math> può essere scritto come:
:<math>\mathbf{T} = T^{ij}\mathbf{e}_{ij}</math>.
''V*'', il duale di ''V'', ha come base '''e'''<sup>1</sup>, '''e'''<sup>2</sup>, ..., '''e'''<sup>''n''</sup> che obbedisce alla legge:
:<math>\mathbf{e}^i (\mathbf{e}_j) = \delta_{i}^j</math>.
Dove δ è il [[delta di Kronecker]], così <math>\delta_{i}^j</math> è 1 if ''i'' =''j'' e 0 nell'altro caso.
== Esempi ==
Generalmente la covenzione di Einstein è usata in presenza di [[tensore|tensori]]. Gli esempi qui proposti sono tutti tensori.
La sommatoria di Einstein può essere chiarita con l'aiuto di alcuni esempi. Considerando uno spazio quadri-dimensionale, dove gli indici vanno da 0 a 3, si ha:
=== Prodotto scalare ===
Il [[prodotto scalare]] di due vettori <math>x</math> e <math>y</math> dello [[spazio euclideo]] <math>\R^n</math> è definito come
:<math> \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i. \,\!</math>
Usando la convenzione di Einstein, si può sottindendere il simbolo di sommatoria. L'espressione può essere scritta come
:<math> \langle x,y \rangle = x_iy_i. \,\!</math>
Infatti il termine <math>x_iy_i</math> contiene due volte l'indice <math>i</math>, la sommatoria sui valori di <math>i</math> può essere sottointesa.
=== Prodotto vettoriale ===
:<math>a^\mu b_\mu = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3</math>
Il [[prodotto vettoriale]] di due vettori <math>u</math> e <math>v</math> in <math>\R^3</math> è definito come
:<math>(u\times v)_i = \epsilon_{ijk} u_j v_k\,\! </math>
Nell'espressione è sottointesa una somma sugli indici <math>j</math> e <math>k</math> poiché entrambi compaiono due volte nel termine di destra. Il simbolo <math>\epsilon_{ijk}</math> dipendente da 3 indici è il [[simbolo di Levi-Civita]]. L'espressione però ''non'' è sommata sull'indice <math>i</math>, perché questo compare una volta sola in ogni termine. L'espressione infatti esprime per ogni <math>i</math> l'<math>i</math>-esima coordinata del prodotto vettoriale fra <math>u</math> e <math>v</math>.
Indicando con
:<math>a^{\mu\nu} b_\mu = a^{0\nu} b_0 + a^{1\nu} b_1 + a^{2\nu} b_2 + a^{3\nu} b_3.</math>
:<math> \mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3 </math>
la [[base canonica]] di <math>\R^3</math>, è possibile scrivere il prodotto vettoriale in un'unica equazione del tipo
:<math>u\times v = \epsilon_{ijk} u_j v_k \mathbf e_i.</math>
Qui la somma è effettuata su tutti gli indici <math>i,j,k</math>. In altre parole,
:<math>u\times v = \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \epsilon_{ijk} u_j v_k \mathbf e_i.</math>
== Indici muti e liberi ==
L'esempio precedente mostra la contrazione, una comune operazione tensoriale. Il [[tensore]]
In una espressione scritta secondo la convenzione di Einstein, gli indici che vanno sommati si chiamano ''muti'' e gli altri sono ''liberi''. Ad esempio, nell'espressione
<math> a^{\mu\nu}b_{\alpha}</math> diventa un nuovo tensore sommando dall'indice superiore a quello inferiore. Tipicamente il tensore risultante è rinominato con gli indici contratti rimossi:
:<math>v^i = T^i_k w^k - U^i_h z^h\,\!</math>
gli indici <math>k</math> e <math>h</math> sono muti e l'indice <math>i</math> è libero. Poiché gli indici <math>k</math> e <math>h</math> devono essere sommati su alcuni valori predeterminati, hanno un ruolo tutto interno all'espressione che non si "manifesta" all'esterno: in particolare, è possibile cambiare lettera per indicare gli indici muti a piacimento. Ad esempio, i due indici muti possono essere scambiati senza variare il significato dell'espressione:
:<math>s^{\nu} = a^{\mu\nu}b_{\mu}.</math>
:<math>v^i = T^i_h w^h - U^i_k z^k.\,\!</math>
Per un esempio familiare, si consideri il [[prodotto scalare]] di due vettori '''a''' e '''b'''. Il prodotto scalare è definito semplicemente come una sommatoria "lungo" gli indici di '''a''' e '''b''':
:<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a^{\alpha}b_{\alpha} = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3,</math>
che è la formula a noi nota come prodotto scalare tra vettori. Si ricordi che talvolta è necessario cambiare le componenti di '''a''' in modo da ridurre il suo indice; comunque, ciò non è necessario nello spazio euclideo, od in un qualunque spazio con una [[Metrica (matematica)|metrica]] eguale alla sua metrica inversa (ad esempio, lo [[Spazio-tempo di Minkowski|spazio-tempo piatto]])
== Varie ==
In alcuni campi, la notazione di Eistein è indicata come [[notazione indice]].
Quando un indice è ripetuto tre o più volte, significa che c'è un errore da qualche parte.
== Voci correlate ==
* [[Tensore]]
* [[Notazione bra-ket]]
{{Portale|matematica}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Notazioni matematiche]]
[[Categoria:Tensori]]
[[cs:Einsteinova konvence]]
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