Potenziale di Morse: differenze tra le versioni

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[[Immagine:Morse-potential.png|400px|thumb|Il '''potenziale di Morse''' (in blu) e il potenziale dell'oscillatore armonico (in verde). Diversamente dai livelli energetici del potenziale dell'oscillatore armonico, che sono uniformemente distanziati di ''ħω'', la distanza tra i livelli del potenziale di Morse diminuisce quando l'energia tende al valore dell'energia di dissociazione. L'energia di dissociazione ''D''<sub>e</sub> è maggiore rispetto alla vera energia richiesta per la dissociazione ''D''<sub>0</sub> dovuta all'energia al punto zero del più basso livello vibrazionale (''v'' = 0).]]
{{S|fisica}}
Il '''potenziale di Morse''' (dal nome del fisico statunitense [[Philip M. Morse]]) è un conveniente modello per l'[[energia potenziale]] di una [[molecola]] biatomica. È una migliore approssimazione per descrivere la struttura vibrazionale delle molecole rispetto all'[[oscillatore armonico quantistico]] in quanto include esplicitamente gli effetti della rottura del [[legame chimico]], come l'esistenza di stati non legati. Rende conto anche dell'[[anarmonicità]] dei legami reali e la probabilità di [[transizione (meccanica quantistica)|transizione]] non nulla delle bande di [[banda di overtone|overtone]] e di [[banda di combinazione|combinazione]].
 
==Espressione deldell'energia potenziale==
Il '''potenziale di Morse''' (dal nome del fisico statunitense [[Philip M. Morse]]) è un buon modello per l'[[energia potenziale]] di una molecola biatomica; fornisce una descrizione migliore della molecola rispetto all'[[oscillatore armonico|approssimazione armonica]] in quanto è possibile studiare la rottura del legame chimico e gli stati non legati.
IlL'energia potenziale di Morse ha la forma
 
==Espressione del potenziale==
Il potenziale di Morse ha la forma
 
:<math>V(r) = D_e ( 1-e^{-a(r-r_e)} )^2</math>,
 
dove <math>r</math> è la distanza fra gli atomi, <math>r_e</math> è la distanza all'equilibrio, <math>D_e</math> profondità del potenziale (definita rispetto agli atomi non legati), ed <math>a</math> controlla la larghezza del potenziale. L'[[energia di dissociazione]] del legame può essere calcolata sottraendo l'[[energia dial punto zero]] alladalla profondità del potenziale. La costante di forza del legame ''a'' può essere determinata dallaconsiderando la [[derivata]] seconda deldella funzione dell'energia potenziale;, sidalla puòquale dimostraresi dimostra che il parametro <math>a</math> vale
 
:<math>a=\sqrt{k_e/2D_e}</math>,
 
dove <math>k_e</math> è la costante di forza nelal minimo del potenziale.
 
Naturalmente, lo zero di energia potenziale è arbitrario, e l'equazione per il potenziale di Morse può essere riscritta in qualsiasi modo addizionando o sottraendo un valore costante.
 
==Energia vibrazionale==
Gli [[stato stazionario (fisica)|stati stazionari]] sul potenziale di Morse hanno [[autovalore|autovalori]]
 
:<math>E(v) = h\nu_0 (v+1/2) - \frac{\left[h\nu_0(v+1/2)\right]^2}{4D_e}</math>
 
dove <math>v</math> è il [[numero quantico]] vibrazionale, e <math>\nu_0</math> ha le dimensioni della [[frequenza]], ed è matematicamente correlata alla [[massa]] della particella <math>m</math> e alle costanti di Morse tramite la relazione
 
:<math>\nu_0 = \frac{a}{2\pi} \sqrt{2D_e/m}</math>.
 
Mentre la distanza energetica tra i livelli vibrazionali nell'oscillatore armonico quantistico è costante a <math>hv_0</math>, nell'oscillatore di Morse l'energia tra livelli adiacenti diminuisce all'aumentare di <math>v</math>.
 
Matematicamente, la distanza tra i livelli di Morse equivale a
 
:<math>E(v+1) - E(v) = h\nu_0 - (v+1) (h\nu_0)^2/2D_e\,</math>.
 
Questo andamento rende conto dell'anarmonicità riscontrata nelle molecole reali. Tuttavia, questa equazione fallisce al di sopra di alcuni valori di <math>v</math> dove la differenza <math>E(v+1) - E(v)</math> risulta uguale a zero o negativa. Questo fallimento è dovuto al numero ''finito'' di livelli di legame nel potenziale di Morse, e qualche <math>v</math> massimo, <math>v_m</math> rimane legato. Per energie superiori a <math>v_m</math>, tutti i possibili livelli energetici sono permessi e l'equazione che esprime <math>E(v)</math> non è più valida.
 
Al di sotto di <math>v_m</math>, <math>E(v)</math> è una buona approssimazione per la vera struttura vibrazionale in molecole biatomiche non ruotanti. Infatti, gli spettri molecolari reali generalmente seguono la relazione<ref>CRC Handbook of chemistry and physics, Ed David R. Lide, 87th ed, Section 9, ''Spectroscopic constants of diatomic molecules'' p. 9-82.</ref>
 
:<math> E_v / hc = \omega_e (v+1/2) - \omega_e\chi_e (v+1/2)^2\,</math>
 
nella quale le costanti <math>\omega_e</math> e <math>\omega_e\chi_e</math> possono essere direttamente correlate ai parametri per il potenziale di Morse.
 
==Soluzione dell'[[equazione di Schrödinger]] per l'oscillatore di Morse==
Similmente all'oscillatore armonico quantistico, le energie e gli [[autostato|autostati]] del potenziale di Morse possono essere calcolati utilizzando metodi che sfruttano gli [[operatore|operatori]]. Uno di questi approcci applica il [[metodo di fattorizzazione]] all'[[hamiltoniano]].
 
==Note==
<references/>
 
==Voci correlate==
* [[Meccanica molecolare]]
* [[Potenziale di Buckingham-Hill]]
* [[Potenziale di Lennard-Jones]]
 
 
{{portale|chimica|fisica}}
 
[[Categoria: Chimica fisica]]