Serie di Laurent: differenze tra le versioni

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cioè i coefficienti <math>c_n</math> sono proprio i coefficienti dello sviluppo di Laurent, dimostrando anche l'unicità dello sviluppo.
 
=== SerieConvergenza della serie di Laurent convergente ===
 
La serie di Laurent a coefficienti complessi è uno strumento importante in [[analisi complessa]], in particolare per comprendere il comportamento didelle funzioni nei pressi delle loro [[singolarità isolata|singolarità]].
[[Immagine:expinvsqlau.png|right|frame|''e''<sup>-1/''x''²</sup> e le sue approssimazioni secondo Laurent: vedi legenda nel testo. L'approssimazione diviene sempre più accurata aumentando il grado negativo della serie di Laurent.]]
 
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per ''n'' = <span style="color:#b30000">1</span>, <span style="color:#00b300">2</span>, <span style="color:#0000b3">3</span>, <span style="color:#b3b300">4</span>, <span style="color:#00b3b3">5</span>, <span style="color:#b300b3">6</span>, <span style="color:#b3b3b3">7</span> e <span style="color:#33b300">50</span>. Se ''n'' → ∞, l'approssimazione diviene esatta per tutti i numeri (complessi) ''x'' eccetto la singolarità ''x'' = 0.
 
In generale, la serie di Laurent può essere usata per esprimere [[Funzione olomorfa|funzioni olomorfe]] definite in una corona circolare, così come la [[Serie di Taylor|serie di potenzeTaylor]] è usata per esprimere funzioni olomorfe definite all'interno di un [[cerchio]].
 
Si supponga che
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Si considera ''R'' infinito se l'ultimo [[limite superiore e limite inferiore|limite superiore]] è zero.
 
Per contro, se si parte da una corona del tipo ''A''&nbsp;= {''z''&nbsp;: ''r''&nbsp;< |''z''&nbsp;&minus;&nbsp;''c''|&nbsp;<&nbsp;''R''} e da una funzione olomorfa ''f''(''z'') definita su ''A'', allora esiste sempre un'unica serie di Laurent centrata in ''c'' che converge (almeno) su ''A'' e rappresenta la funzione ''f''(''z''), come dimostrarto sopra.
 
=== Esempio ===
A titolo di esempio, sia
 
:<math>f(z) = {1 \over (z-1)(z-2i)}</math>
 
Questa funzione ha singolarità in ''z''&nbsp;=&nbsp;1 e ''z''&nbsp;=&nbsp;2''i'', punti nei quali il denominatore dell'espressione si annulla e la funzione non è definita.
Una [[serie di Taylor]] in ''z''&nbsp;=&nbsp;0 (che dà una serie di potenze) converge unicamente in un disco di raggio 1, dato che "incontra" la singolarità in 1.
 
Però, ci sono tre possibili sviluppi secondo Laurent in ''z''&nbsp;=&nbsp;0, a seconda di dove si trovi ''z''.
* Una è definita sul cerchio dove |''z''|&nbsp;<&nbsp;1; e coincide con la serie di Taylor,
:<math>f(z) = \frac{1+2i}{5} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{(2i)^{k+1}}-1\right)z^k</math>.
* Un'altra è definita nella corona in cui 1&nbsp;< |''z''|&nbsp;<&nbsp;2, compresa tra le due singolarità,
:<math>f(z) = \frac{1+2i}{5} \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{z^k} + \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2i)^{k+1}}z^k\right)</math>.
* La terza è definita sulla corona circolare infinita dove 2&nbsp;< |''z''|&nbsp;<&nbsp;∞,
:<math>f(z) = \frac{1+2i}{5} \sum_{k=1}^\infty \frac{1-(2i)^{k-1}}{z^k}</math>.
 
===Esempio===
Trovare la serie di Laurent in potenze di <math>z - i</math> di
 
: <math>\frac{1}{z^2 + 1}.</math>
 
Dapprima notiamo che
 
: <math>\frac{1}{z^2 + 1} =\frac{1}{(z-i)(z+i)}.</math>
 
allora riscriviamo
 
:<math>\frac{1}{z + i} = \frac{1} {2i + (z -i)}= -\frac{i} {2}\frac{1}{1-\frac{i}{2}(z - i)}.</math>
 
L'ultima frazione può essere espansa in [[serie geometrica]] per <math>z</math> vicino a <math>i,</math>:
 
:<math>\frac{1}{1-\frac{i}{2}(z - i)}=1+\frac{i}{2}(z - i)+\left(\frac{i}{2}(z - i)\right)^2+\left(\frac{i}{2}(z - i)\right)^3+\ldots.</math>
 
Sostituiamo questo sviluppo nell'espressione di <math>1/(z + i)</math> e dividiamo per <math>z - i</math> entrambi i membri: otteniamo infine
 
: <math>\frac{1}{z^2 + 1}=-\left(\frac{i}{2}\right)\frac{1}{z-i}-\left(\frac{i}{2}\right)^2-\left(\frac{i}{2}\right)^3(z-i)-\left(\frac{i}{2}\right)^4(z-i)^2-\ldots.</math>
 
=== Serie di Laurent e residui ===
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si osserva che il residuo è 2.
 
 
 
== Serie di Laurent e singolarità ==