Residuo (analisi complessa): differenze tra le versioni
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== Residuo all'infinito ==
Una funzione olomorfa <math>f:\Omega\to\mathbb C </math> è definita
▲è definita su un ''intorno dell'infinito'' <math>\Omega </math> se esiste un <math>R>0</math> tale che l'aperto <math>\Omega </math> contenga tutti gli <math>z</math> con modulo <math>|z|>R</math>. In questo caso, è definito il '''residuo all'infinito''' di <math>f</math> come
{|
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dove
:<math>\gamma (t) = R'e^{2\pi it} \,\!</math>
è una curva qualsiasi con <math>R'>R</math> (il risultato non dipende da questa scelta).
In particolare, il residuo all'infinito può essere determinato come
:<math>\operatorname{Res}_{\infty}f(z)=-\mathop{\text{Res}}_{z=0} \frac{1}{
Tale relazione può essere mostrato che discende da un semplice cambio di variabile (o [[trasformazione conforme]]) che manda la variabile ''z'' nella sua inversa ''z''<sup>-1</sup>. Segue allora che▼
:<math>\oint f(w)\text{d}w = - \oint_{\gamma}f\left(\frac{1}{z}\right)\text{d}\frac{1}{z} = \oint_{\gamma}\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)\text{d} z</math>▼
▲Tale relazione
Risulta allora che la funzione ha un punto singolare isolato nella nuova variabile ''z'' dove essa vale 0. Ad essa si applica allora il [[teorema dei residui]], da cui discende la formula per il residuo all'infinito. Da notare che la rappresentazione sulla [[sfera di Riemann]] fornisce una rappresentazione potente della situazione matematica descritta.▼
▲:<math>\oint f(
▲Risulta allora che la funzione ha un punto singolare isolato nella nuova variabile ''
== Voci correlate ==
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