Filtro adattato: differenze tra le versioni
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Nelle [[telecomunicazioni]] un '''filtro adattato''' o '''filtro ottimo''' (originariamente conosciuto come '''filtro di North'''<ref>Da D.O. North che per primo ha introdotto il concetto: {{cite journal|title = An analysis of the factors which determine signal/noise discrimination in pulsed carrier systems|author = North, D. O. |journal = RCA Labs., Princeton, NJ, Rep. PTR-6C|date = 1943}}</ref>) è ottenuto [[Correlazione incrociata|correlando]] un [[Segnale_elettrico|segnale]] conosciuto con un segnale incognito per rivelare la presenza di un marcatore all'interno del segnale incognito. Ciò è equivalente ad effettuare l'operazione di [[convoluzione]] tra il segnale incognito ed una versione tempo-invertita del segnale noto. Il filtro adattato è il filtro lineare ottimo per la massimizzazione del [[Rapporto segnale/rumore]] (SNR) in presenza di [[Rumore_(elettronica)|rumore]] stocastico additivo. I filtri adattati sono comunemente usati in ambito [[radar]], in cui un segnale conosciuto viene trasmesso, ed il segnale riflesso è esaminato per la ricerca di elementi comuni con il segnale trasmesso. Altre applicazioni del filtro adattato si ritrovano nella nell' [[Elaborazione digitale delle immagini]], ad esempio per incrementare il rapporto SNR in fotografie a raggi X.
==Derivazione del filtro adattato==
Sia c(t) il [[segnale]] in uscita da un rivelatore. Supponiamo che c(t) sia costituito da una componente pura del segnale s(t), dato dalla sola risposta del rivelatore a un evento fisico con trasformata di Fourier <math>s(\omega)</math>, e da una componente di rumore n(t) con trasformata di Fourier <math>n(\omega)</math> e spettro di potenza <math>N(\omega)</math>.
Supponiamo ora di processare c(t) attraverso una sistema ideale avente funzione di trasferimento H(t). Avremo che all'uscita di tale sistema c(t) avrà forma:
<math>c_{out} = \int_{-\infty}^{\infty}{c(\omega)H(\omega) e^{i\omega t} d\omega}</math>
Si definisce la funzione <math>H(t)</math> filtro ottimo quella funzione tale per cui è massimo il rapporto segnale - rumore, ovvero quella che massimizza il rapporto tra la potenza media del segnale privo di rumore (segnale puro) e quella del rumore stesso. In formule, equivale a massimizzare
<math>
\frac{|s(t)|^2}{\sigma_n^2} =
\frac{ \int_{-\infty}^{\infty}{|s(\omega)|^2|H(\omega)|^2 e^{i\omega t}d\omega} }
{ \int_{-\infty}^{\infty}{N(\omega)|H(\omega)|^2 d\omega} }
</math>
Utilizzando la [[disuguaglianza di Schwartz]], moltiplicando e dividendo l'integrando al numeratore per <math>N(\omega)</math> è possibile stimare il
limite superiore a tale rapporto:
<math>\frac{|s(t)|^2}{\sigma_n^2} < \frac{1}{ \int_{-\infty}^{\infty}{N(\omega)|H(\omega)|^2 d\omega} }
\cdot \int_{-\infty}^{\infty}{ \frac{|s(\omega)|^2}{ N(\omega) } d\omega }
\int_{-\infty}^{\infty}{N(\omega)|H(\omega)|^2 d\omega} = \qquad
\int_{-\infty}^{\infty}{ \frac{|s(\omega)|^2}{ N(\omega) } d\omega }</math>
Dall'equazione qua sopra si vede come il rapporto segnale-rumore ha un limite superiore che risulta indipendente da <math>H(\omega)</math>.
Per ottenere un'espressione per il filtro ottimo basterà a questo punto trovare la funzione di trasferimento H, tale per cui l'equazione si riduce ad un'uguaglianza. Si ricava:
<math>
H(\omega) = K \cdot \frac{s(\omega)^*}{N(\omega)} e^{-i \omega t}</math>
dove K è una costante.
Da queste considerazioni emerge che per ottenere il segnale filtrato <math>c_{OF}(t)</math> sarà sufficiente convolvere il segnale con la funzione
di risposta <math>H(t)</math> del Filtro Ottimo; sfruttando le proprietà della Trasformata di Fourier basta antitrasformare il prodotto delle trasformate di <math>c(t)</math> e di <math>H(t)</math>, ovvero
<math>c_{OF}(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{ c(\omega)H(\omega) e^{i\omega t}d\omega }</math>
Osservando la forma di <math>H(\omega)</math> e l'espressione del filtro ottimo, il siginificato fisico di tale sistema può essere visto così:
esso rappresenta una media del segnale vero <math>c(\omega)</math> pesata sulle frequenze da <math>N(\omega)</math>; alle frequenze in cui <math>N(\omega)</math> è maggiore, <math>c(\omega)</math> viene soppressa.
==Derivazione alternativa==
Il filtro adattato è il filtro lineare, <math>h</math>, che massimizza il rapporto segnale-rumore in uscita.
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[[Categoria:Teoria dei segnali]]
[[Categoria:Teoria del controllo]]
[[Categoria:Radar]]
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