Teorema di Helmholtz: differenze tra le versioni
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Il '''teorema di Helmholtz''' afferma che un [[campo vettoriale]] è completamente determinato quando sono noti, in ogni punto del suo dominio, la sua [[divergenza]] e il suo [[rotore (matematica)|rotore]]; inoltre il campo vettoriale può essere espresso come somma di un [[campo vettoriale irrotazionale]] e di un [[campo vettoriale solenoidale]].
==Teorema==
Sia '''A''' un campo vettoriale incognito, definito e regolare in tutto lo spazio, di cui si conoscono:
:<math>\nabla \cdot \mathbf{A} \quad \mathrm{e} \quad \nabla \times \mathbf{A}</math>
e per cui valga la condizione:
:<math>\lim_{r \to \infty} \mathbf{A} (\mathbf{r}) \left | \mathbf{r} \right | = \mathbf{c}, \quad \left | \mathbf{c} \right | < \infty</math>
Allora:
1) il [[campo vettoriale]] '''A''' è completamente determinato dalla sua [[divergenza]] e dal suo [[rotore (matematica)|rotore]] e vale:
:<math>\mathbf{A} (\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \, \int_V{ \frac{\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}(\mathbf{x'}))} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \; dV} +\frac{1}{4\pi} \, \int_V{ \frac{\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x'}))} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \; dV} </math>
2) il [[campo vettoriale]] '''A''' può essere espresso come somma di un [[campo vettoriale irrotazionale]] e di un [[campo vettoriale solenoidale]], di cui il primo è completamente determinato dalla [[divergenza]] e il secondo dal [[rotore (matematica)|rotore]]:
:<math>\mathbf{A} (\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \, \nabla \left(\int_V{ \frac{\nabla \cdot \mathbf{A}(\mathbf{x'})} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \, dV} \right) +\frac{1}{4\pi} \, \nabla \times \left( \int_V{ \frac{\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x'})} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \, dV} \right) </math>
È bene tener presente che l'operatore [[nabla]] agisce rispetto alle coordinate '''x'''' all'interno degli integrali e rispetto alle coordinate '''x''' all'esterno e che l'integrazione avviene sulle coordinate '''x''''.
{{Portale|matematica}}
[[Categoria: Calcolo vettoriale]]
[[Categoria:Teoremi|Helmholtz]]
[[de:Helmholtz-Theorem]]
[[en:Helmholtz decomposition]]
[[fr:Théorème de Helmholtz-Hodge]]
[[pl:Twierdzenie Helmholtza]]
[[sq:Dekompozimi i Helmholcit]]
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