Spazio T1: differenze tra le versioni

Una condizione equivalente consiste nel chiedere che tutti i punti di ''X'' siano chiusi (cioè che sia chiuso ogni insieme fatto da un punto solo).

 

Supponiamo vera la prima definizione. Fissiamo ''x'' e lasciamo variare ''y''. Per ogni ''y'' troviamo un aperto ''V'' che contiene ''y'' e non ''x''. L'unione di tutti questi aperti è il complementare di ''x'', ed è un aperto. Quindi il punto ''x'' è chiuso. Supponiamo ora vera la seconda. Due punti ''x'' e ''y'' sono chiusi, quindi i loro complementari ''V'' e ''U'' sono aperti e soddisfano le richieste della prima definizione.