Topologia algebrica: differenze tra le versioni

La '''topologia algebrica''' è una branca della [[matematica]] che applica gli strumenti dell'[[algebra astratta]] per studiare gli [[spazio topologico|spazi topologici]].

 

 

L'intento è prendere degli spazi topologici e categorizzarli o classificarli ulteriormente. Un vecchio nome per questo campo era ''topologia combinatoria'', che comportava un'enfasi su come uno spazio ''X'' era costruito da spazi più semplici. Il metodo fondamentale ora applicato nella topologia algebrica è l'indagine degli spazi mediante gli invarianti algebrici, mappati ad esempio su [[gruppo (matematica)|gruppi]], dotati di una struttura molto maneggevole ma che rispetta la relazione di [[omeomorfismo]] fra spazi.

I gruppi di omologia e coomologia, d'altra parte, sono abeliani e in molti casi importanti finitamente generati. I [[gruppo abeliano finitamente generato|gruppi abeliani finitamente generati]] sono completamente classificati e particolarmente semplici da usare.

 

 

Molti risultati utili seguono immediatamente dall'uso dei gruppi abeliani finitamente generati. Il rango libero dell<nowiki>'</nowiki>''n''-esimo gruppo di omologia di un complesso simpliciale è uguale al [[numero di Betti]] ''n''-esimo, così si può usare il gruppo di omologia di un complesso simpliciale per calcolare la sua [[caratteristica di Eulero]]. Come altro esempio, il gruppo integrale di coomologia a dimensione più alta di una [[varietà]] chiusa rileva la [[orientabilità]]: questo gruppo è isomorfo a 0 oppure agli interi, a seconda che la varietà sia orientabile o no. Quindi, molta dell'informazione sulla topologia è codificata nell'omologia di un dato spazio topologico.

 

 

 

In generale, tutte le costruzioni della topologia algebrica sono [[teoria delle categorie|funtoriali]]: la nozione di [[categoria]], [[funtore]] e [[trasformazione naturale]] hanno origine da qui. I gruppi fondamentali, i gruppi di omologia e coomologia non solo sono ''invarianti'' dello spazio topologico sottostante, nel senso che due spazi topologici [[omeomorfismo|omeomorfi]] hanno lo stesso gruppo associato; una mappa continua fra gli spazi induce un omomorfismo di gruppo sui gruppi associati, e questi omomorfismi possono essere usati per mostrare la non esistenza (o, molto più profondamente, l'esistenza) delle mappe.

 

Le applicazioni classiche della topologia algebrica includono:

* Il [[teorema del punto fisso di Brouwer]]: ogni mappa [[funzione continua|continua]] dall<nowiki>'</nowiki>''n''-disco unitario su sé stesso ha un punto fisso.

Il più celebre problema geometrico aperto nella topologia algebrica è la [[congettura di Poincaré]], che potrebbe essere stata risolta da [[Grigori Perelman]]. Il campo della teoria delle [[omotopia|omotopie]] contiene molti misteri, il più famoso dei quali è il modo corretto di descrivere il [[gruppo di omotopia]] delle [[sfera|sfere]].

 

* {{en}} [[Allen Hatcher]], ''Algebraic Topology'' , Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. Una introduzione moderna alla topologia algebrica incentrata sulla geometria. Il libro è disponibile in formato PDF e PostScript sulla [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html pagina web dell'autore].

* {{en}} C. R. F. Maunder, ''Algebraic Topology'' (1970) Van Nostrand Reinhold, London ISBN 73-105346.

[[Categoria:Topologia algebrica| ]]

 

[[ca:Topologia algebraica]]

[[de:Algebraische Topologie]]