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Operatore di evoluzione temporale: differenze tra le versioni

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e questo implica che
 
:(2)<math>U^{\dagger}(t,t_0) U(t,t_0) = \mathbf{1}</math>
 
cioè l'operatore di evoluzione temporale deve essere [[Operatore unitario|unitario]]. Inoltre per <math>t \to t_0</math> il nostro operatore deve eseguire una trasformazione identitaria, cioè deve ridursi all'operatore identità, cioè:
 
:<math>\lim_{t \to t_0} U(t, t_0) = \mathbf{1}</math>
 
Infine l'applicazione successiva dell'operatore due volte, cioè eseguire due evoluzioni tempoarlitemporali consecutive, deve portare ad una evoluzione somma:
 
:<math>U(t_2, t_1) U(t_1, t_0) = U(t_2, t_0)</math>
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Queste proprietà portano alla definizione dell'operatore di evoluzione temporale infinitesimale:
 
:(3)<math>U(t_0 + dt, t_0) = I\mathbf{1} - i \Omega \cdot dt</math>
 
dove ''I''<math>\mathbf{1}</math> è l'operatore identità e <math>\Omega</math> è il generatore dell'evoluzione temporale e deve essere un operatore hermitiano, infatti:
 
:<math>U^{\dagger} U = \left(I\mathbf{1} +i \Omega^{\dagger} \cdot dt \right) \left(I\mathbf{1} - i \Omega \cdot dt \right) = I\mathbf{1} + i (\Omega^{\dagger} - \Omega) dt + O((dt)^2) \simeq I\mathbf{1}</math>
 
ossia:
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:(4)<math>\Phi = \sum_i q_i \cdot P_i + H dt</math>
 
dove <math>\sum_i q_i \cdot P_i</math> genera una trasformazione identica. Dal confronto della (3) con la (4) possiamo supporre che <math>\Omega</math> coincida a meno di un fattore costante con l'hamiltoniana del sistema. Il fattore costante in questione è la [[costante di Planck]] razionalizzata poiché essa permette all'operatore temporale di essere adimensionale, quindi in definitiva la (3) dice che l'operatore di evoluzione temporale infinitesima è:
 
:(5)<math>U(t_0 + dt, t_0) = I\mathbf{1} - \frac{i H dt}{\hbar}</math>
 
Se ci si limita a considerare forze indipendenti dal tempo, l'operatore U dipende unicamente dall'intervallo <math>t-t_0</math> e non dall'istante iniziale <math>t_0</math>, che si può porre uguale a 0. In questo caso, vedremo che l'operatore di evoluzione temporale si può scrivere in forma compatta come
 
:(6)<math>U(t) \equiv U(t,0) = e^{-i H t / \hbar}.</math>
 
Questo risultato si può dimostrare rigorosamente in virtù del [[Teorema di Stone]].
 
== Equazione di Schrödinger ==
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L'operatore di evoluzione temporale infinitesimo è alla base dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, infatti se:
 
:<math>U(t+dt, t_0) - U(t,t_0) = U(t+dt, t) U(t,t_0) - U(t,t_0) = \left(I\mathbf{1} - \frac{i H dt}{\hbar} \right) U(t,t_0) - U(t,t_0) = - \frac{i}{\hbar} H dt U (t,t_0)</math>
 
dividendo per <math>dt</math> e nel limite <math>dt \to 0</math>:
Line 65 ⟶ 71:
 
:<math>i \hbar \left( \frac{\partial}{\partial t} U(t,t_0) \right) |\alpha, t_0 \rangle = H U(t,t_0) |\alpha, t_0 \rangle \, \, \rightarrow \, \, i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\alpha, t \rangle = H |\alpha ,t_0 \rangle</math>
 
dove H può dipendere esplicitamente dal tempo.
 
== Stati stazionari ==
 
L'hamiltoniano di un sistema isolato o di un sistema che si trova in un campo esterno uniforme non contiene esplicitamente il tempo. QuestaE' caratteristicalecito imponequindi cheporre il<math>t_{0} sistema= è0</math> invariantee perscrivere istanti<math>U(t) di= tempo diversiU(t,0)</math> lasenza soluzioneperdere dellin generalità. Dall'equazione di Schrödinger è:si ricava
 
:<math>U(t,t_0) = e^{- \frac{i H (t -/ t_0)}{\hbar}}</math>
 
e per i vettori di stato:
 
:<math>|\alpha, t \rangle = e^{- i H (t - t_0) /\hbar} |\alpha, t_00 \rangle</math>.
 
Si definiscono '''stati stazionari''' quelli che non evolvono nel tempo, vale a dire <math>|\alpha, t \rangle</math> e <math>|\alpha, 0 \rangle </math> rappresentano lo stesso stato. Questo è vero se sono proporzionali, cioè
Gli stati <math>|\alpha , t_0 \rangle = |n \rangle</math> per via dell'indipendenza dell'hamiltoniana dal tempo corrispondono agli autostati dell'operatore hamiltoniano, chiamati anche '''stati stazionari''':
 
:<math>H|n\alpha, t \rangle = E_nc(t) |n\alpha, 0 \rangle </math>.
 
Si dimostra che
dove consideriamo gli autovalori discreti dell'energia, ma ciò vale identicamente anche per autovalori continui. L'evoluzione temporale in questo caso:
 
''uno stato è stazionario se e solo se è autostato di H''.
:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |n, t \rangle = H |n, t \rangle = E_n |n ,t \rangle</math>
 
Ad esempio, se <math>H |\alpha, 0 \rangle = E |\alpha, 0 \rangle</math> si ha che
integrata nel tempo:
 
:<math>U(t) |n\alpha,t 0 \rangle = e^{- i E_nH t / \hbar} |n\alpha, 0 \rangle| = e^{- i E t /\hbar} \alpha, 0 \rangle</math>.
 
Si vede così che la costante di proporzionalità c(t) è <math>e^{- i E t /\hbar}</math>.
cioè la dipendenza temporale degli stati sono direttamente dipendenti dagli autovalori dell'energia <math>E_n</math> in modo semplice tramite una dipendenza esponenziale del tempo. Allo stesso risultato si arriva applicando direttamente l'operatore di evoluzione temporale allo stato <math>|n, 0 \rangle</math>:
 
Se lo stato di partenza non è un autostato di H, ma questa ha un insieme completo di autovettori <math>|n \rangle</math>, è possibile effettuare uno sviluppo in serie:
:<math>|n ,t \rangle = U(t,0) |n,0 \rangle = e^{-i H t /\hbar} |n, 0 \rangle = e^{-i E_n t / \hbar} |n, 0 \rangle</math>▼
 
cioè l'energia ha un valore costante per tutti gli istanti successivi a <math>t=0</math>, cioè la legge di conservazione dell'energia.
 
Esplicitiamo i vettori di stato in autostati dell'energia al tempo iniziale <math>t=0</math>:
 
:<math>|\alpha, 0 \rangle = \sum_n |n \rangle \langle n |\alpha, 0 \rangle = \sum_n c_n (0) |n \rangle</math>
 
al tempo <math>t</math> l'evoluzione del vettore di stato è:
 
:<math>|\alpha ,t \rangle = U(t,0) |\alpha ,0 \rangle = \sum_n c_n (0) e^{-i H t /\hbar} |n \rangle = \sum_n c_n (0) e^{-i E_n t / \hbar} |n \rangle</math>
Line 106 ⟶ 110:
:<math>c_n (0) \, \, \, \Rightarrow \, \, \, c_n (t) = e^{-i E_n t / \hbar} c_n (0)</math>
 
I moduli quadri <math>|c_n (t)|^2</math> dei coefficienti dello sviluppo del vettore di stato al tempo t, sono alcome solitosempre le probabilità di transizione dei diversi valori di energia del sistema: e la precedente mostra che tali probabilità restano costanti nel tempo.
 
Se H ha autovalori continui lo sviluppo in serie non è possibile e si avrà
 
▲:<math>|n\alpha ,t \rangle = U(t,0) |n,0 \rangle = e^{-i H t /\hbar}int |n, 0 \rangle =c(E) e^{-i E_nE t / \hbar} |n, 0E \rangle dE</math>.
 
Nel caso in cui H abbia solo autovalori continui (ad esempio nel caso di particella libera), non esistono autostati propri e quindi nemmeno stati stazionari.
 
==Osservabili e costanti del moto==
A partire dall'operatore U è possibile determinare come varia nel tempo il valor medio di qualunque [[osservabile]] A:
 
:<math>\langle A \rangle_t = \langle \alpha , t |A| \alpha , t \rangle</math>
 
ed è chiaro che il valor medio di A è costante nel tempo su ogni stato stazionario. In particolare, per la posizione <math>\langle x \rangle = cost.</math> e per l'impulso si ha
 
:<math> \langle p \rangle = m \frac{d}{dx} \langle x \rangle = 0</math>.
 
Possono esistere osservabili il cui valor medio si mantiene costante su qualsiasi stato: queste si dicono '''costanti del moto'''. Si dimostra che
 
''tutte e sole le costanti del moto sono le osservabili che commutano con H, ovvero [A,H]=0''.
 
Analogo risultato vale in meccanica classica: le costanti del moto sono le funzioni che annullano la parentesi di Poisson con H.
 
==Rappresentazione di Heisenberg==
Per determinare il valor medio di A abbiamo scritto <math>\langle A \rangle_t = \langle \alpha , t |A| \alpha , t \rangle</math> e introducendo l'operatore U si ha
 
:<math>\langle A \rangle_t = \langle \alpha , 0 |U(t)^{\dagger} A U(t)| \alpha , 0 \rangle</math>
e posto <math>A(t) \equiv U(t)^{\dagger} A U(t)</math>, si ha
 
:<math>\langle A \rangle_t = \langle \alpha , 0 |A(t)| \alpha , 0 \rangle</math>.
 
Questa scrittura significa che stiamo tenendo fissi i vettori che descrivono lo stato del sistema, mentre ''sono le osservabili a dipendere dal tempo''. Questo schema è formalmente identico alla meccanica classica: se <math>U(t) = e^{-i H t / \hbar}</math>, si trova l''''equazione di Heisenberg'''
 
:<math>\dot{A}(t) = \frac{i}{\hbar}[H, A(t)]</math>
 
che corrisponde alle equazioni del moto classiche in forma di [[parentesi di Poisson]].
 
Per una hamiltoniana nella forma <math>H = \frac{p^2}{2m} + V(q)</math> si trovano due equazioni per q e p formalmente uguali alle [[equazioni di Hamilton]]:
 
:<math>\dot{q}(t) = \frac{p(t)}{m}</math>
 
:<math>\dot{p}(t) = - \frac{\partial}{\partial q} V[q(t)]</math>
 
==Bibliografia==
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*L.D. Landau, E.M. Lifŝits - Meccanica quantistica, teoria non relativistica
 
*L.E. Picasso, Lezioni di Meccanica quantistica
 
==Voci correlate==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_di_evoluzione_temporale"