Funzione polidroma: differenze tra le versioni

In [[matematica]], una '''funzione polidroma''' (o '''funzione multivoca''' o '''multifunzione''') è una [[funzione]] che può avere più valori. Le funzioni polidrome sono usate soprattutto in [[analisi complessa]].

 

Nel contesto delle funzioni polidrome, una funzione nel senso usuale del termine viene detta '''monodroma'''. In questo caso, <math>f(x) </math> è formato da un elemento solo per ogni <math>x</math>. Utilizzando l'insieme delle parti viene infatti aggirato il problema di avere per ogni input una ''e una sola'' [[immagine (matematica)|immagine]], associando all'elemento di partenza un intero insieme, che è un unico elemento se considerato all'interno dell'insieme delle parti del [[codominio]].

 

È bene sottolineare la differenza tra funzioni polidrome e [[funzione vettoriale|funzioni vettoriali]], cioè a valori nel prodotto cartesiano di ''n'' copie di ''Y'', distinguendo due differenze fondamentali:

*una funzione vettoriale ha immagini con un numero di componenti sempre fisso ad ''n'' poiché sono [[vettore (matematica)|vettori]] di <math>Y^n</math>; al contrario, una funzione polidroma ha valori di [[cardinalità]] variabile, poiché sono sottoinsiemi arbitrari di ''Y''

 

== Analisi complessa ==

{{vedi anche|Radice dell'unità}}

La più semplice e immediata funzione polidroma è la [[potenza (matematica)|potenza]] ennesima di una [[numero complesso|variabile complessa]]:

è chiaramente non definitivamente determinato. Questo implica che anche se <math>z^n</math> è univocamente determinato dalla determinazione principale del suo argomento, la sua inversa non è univocamente determinata, di conseguenza si avranno <math>n</math> valori, in corrispondenza degli <math>n</math> valori dell'argomento di <math>\sqrt[n]{z}</math>. Per ritornare allo stesso punto bisogna dunque eseguire <math>n</math> giri intorno all'origine. Da notare che la funzione resta monodroma se restringiamo l'intervallo di definizione dell'argomento ad un settore tra <math>n</math> ed <math>n+1</math>.

 

{{vedi anche|Logaritmo complesso}}

Consideriamo un'altra tipica funzione polidroma che è anche discontinua su tutta una semiretta uscente dall'origine come:

:<math>z^{\alpha} = e^{\alpha ln z}</math>

 

L'ultima funzione polidroma che analizziamo è l'argomento di un numero complesso, definito come

:<math>arg(z)=\{y \in \R : e^{iy}=\frac{z}{|z|}\}</math>

:<math>arg(z)=\{y_0+2k\pi, k \in \mathbb Z \}.</math>

 

 

Caratteristica di molte funzioni polidrome è l'esistenza di punti di [[singolarità isolata|singolarità non isolate]] che sono detti '''punti di diramazione''' di ordine <math>n</math>, se compiendo <math>n + 1</math> giri nello stesso verso, la funzione assume sempre lo stesso valore iniziale; si dice invece un punto di diramazione ''di ordine infinito'', se per quante volte si giri intorno al punto singolare la funzione non torna mai ad assumere lo stesso valore iniziale. A parte i due punti di diramazione in zero e all'infinito la funzione logaritmo è [[funzione analitica|analitica]]. Ciò significa che si può sviluppare in [[serie di Taylor]] entro un cerchio di convergenza di centro <math>z_0</math> di raggio <math>|z_0|</math>:

:<math>log z = log z_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac {\left[\frac {z-z_0}{z} \right]^n}{n}</math>

 

Tipiche e molto usate funzioni polidrome a valori reali sono le inverse delle [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]]: esse sono [[funzione periodica|periodiche]], quindi similmente al logaritmo complesso, le loro inverse assumono una quantità [[insieme numerabile|numerabile]] di valori.

 

 

Tutti questi esempi condividono una proprietà comune: essi possono essere visti come [[funzione inversa|funzioni inverse]] di qualche altra applicazione (la [[potenza (matematica)|potenza]] per le radici, l'[[esponenziale]] per il logaritmo). Infatti la funzione inversa è la multifunzione più facile da incontrare, poiché a priori la corrispondenza <math>y\mapsto f^{-1}(y)</math> non genera un elemento, ma un insieme: esso è [[insieme vuoto|vuoto]] se ''y'' non è parte dell'immagine di ''f'', è un [[singleton]] per i valori in cui essa è iniettiva, è un insieme con più elementi altrimenti.

Esistono [[teorema|teoremi]] che assicurano, a seconda delle varie geometrie del dominio, la [[funzione continua|continuità]] di tali rami e la relazione tra essi: si verifica ad esempio che l'esistenza di un ramo continuo dell'argomento è [[condizione necessaria e sufficiente]] all'esistenza di un ramo continuo del logaritmo.

 

*[[Analisi complessa]]

*[[Serie complessa]]

[[ca:Funció multivaluada]]

[[en:Multivalued function]]

[[he:פונקציה רב ערכית]]

[[pl:Multifunkcja]]