Notazione di Einstein: differenze tra le versioni

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(aggiunta sezione sulla notazione astratta degli indici)
__TOC__[[File:Albert Einstein portrait.jpg|thumb|right|Nel libro "''La teoria della relatività''" [[Albert Einstein]] introduce una notazione che rende le formule della [[relatività generale]] più concise. "''Quando un indice si presenta due volte in un termine d'una espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario.''"]]
In [[matematica]], e in particolare nelle applicazioni dell'[[algebra lineare]] alla [[fisica]] la '''notazione di Einstein''' o la '''convenzione di Einstein nelle sommatorie''' è una notazione convenzionale utile quando si lavora con formule contententi indici di coordinate.
 
gli indici <math>k</math> e <math>h</math> sono muti e l'indice <math>i</math> è libero. Poiché gli indici <math>k</math> e <math>h</math> devono essere sommati su alcuni valori predeterminati, hanno un ruolo tutto interno all'espressione che non si "manifesta" all'esterno: in particolare, è possibile cambiare lettera per indicare gli indici muti a piacimento. Ad esempio, i due indici muti possono essere scambiati senza variare il significato dell'espressione:
:<math>v^i = T^i_h w^h - U^i_k z^k.\,\!</math>
 
== Notazione astratta degli indici ==
La notazione di Einstein presenta l'inconveniente di non specificare se le relazioni tra le grandezze che compaiono nelle equazioni (in particolar modo i [[tensore|tensori]] valgano ''componente per componente'' o se siano ''equazioni tensoriali'', indipendenti dalla scelta di una base. Per questo motivo [[Roger Penrose]] e altri<ref name=Wald>in {{en}} {{cita libro | cognome=Wald| nome=Robert M. | anno=1984 | titolo=General Relativity | edizione=1<sup>a</sup> edizione | editore=University of Chicago Press |id=ISBN 0226870332 }} si riportano due lavori Penrose (1968) e Penrose e Rindler (1984) a proposito dell'introduzione della notazione astratta degli indici.</ref> hanno proposto l'introduzione di una differenziazione della notazione da usarsi nella notazione di Einsten:
* Equazioni che contengano indici indicati da ''lettere latine'' (e.g., <math>T^{a_1, \dots, a_r}_{b_1, \dots, b_s})</math>) sono da considerarsi relazioni tra tensori e non è necessaria la scelta di una base di coordinate
* Equazioni che contengano indici indicati da ''lettere greche'' (e.g., <math>T^{\mu_1, \dots, \mu_r}_{\nu_1, \dots, \nu_s})</math>) sono da considerarsi relazioni tra le componenti dei tensori e quindi è necessaria la scelta di una base di coordinate.
 
La notazione astratta degli indici (''abstract index notation'') distingue queste due situazioni pertanto la notazione <math>T^{abc}_{de}</math> e <math>T^{a_1, \dots, a_r}_{b_1, \dots, b_s}</math> indicano tensori di classe (3, 2) e (r,s), pertanto sappiamo che il primo tensore, ad esempio, agisce su <math>\underbrace{V^{*}_P \times \dots \times V^{*}_P}_{r \,volte}</math> e su <math>\underbrace{V_P \times \dots \times V_P}_{s \,volte}</math> ossia agisce su <math>s</math> vettori e <math>r</math> covettori.
 
Questa notazione si scontraparzialmente con un uso precedente<ref name=Wald></ref> , tuttavia ancora diffuso<ref>{{cita libro | cognome=Prosperi| nome=Gian Maria| anno=2004 | titolo=Elementi di teoria della relatività ristretta | editore=Cusl |id=ISBN 8881325055}}</ref>, per il quale si usano le lettere greche quando si vuole indicare che la sommatoria deve essere svolta su tutti gli indici (spaziali e temporali), si usano le lettere latine quando la sommatoria e ristretta alle sole componenti spaziali (quindi, per esempio, <math>x^{\mu}x_{\mu} = \sum_{\mu=0}^{3} = -(x^0)^2 + ||\hat{x}||^2</math> dove abbiamo usato la metrica <math>g_{\mu \nu} = diag(-1, +1, +1, +1)</math> e <math>x^0 = ct</math>, invece <math>x^{i}x_{i} = \sum_{i=1}^{3} = ||\hat{x}||^2</math>. La parte spaziale (vettore 3 dimensionale) del [[quadrivettore]] <math>x</math> è indicata da <math>\hat{x}</math> e <math>||\hat{x}||^2</math> è la [[norma]] quadra di <math>\hat{x}</math>).
 
== Voci correlate ==
* [[Tensore]]
* [[Notazione bra-ket]]
 
== Note ==
<references />
 
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